Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
(u''+A)v'=0, (v''+B)u'=0,
которая имеет единственное решение при заданных начальных условиях. Эти
уравнения можно представить как уравнения Эйлера для некоторой вариацион -
ной задачи .
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ , ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что:
1.1. Касательная линии откоса во всех точках образует постоянный угол с
неизменным направлением в пространстве;
1.2. Главная нормаль линии откоса ортогональна этому направлению .
2. Сравнить с единицей каждую из величин x'
s
,y'
s
,z'
s
.
3. Записать уравнения Френе в матричной форме:
3.1. В компонентной форме;
3.2. В виде разложения по векторам базиса Френе.
4. Как определить, является ли заданная параметризация кривой нату-
ральной ?
5. Показать, что |r'
s
×r"
ss
|=|r"
ss
|, где s есть дуговая координата.
6. Доказать, что
| x'y''− y'x''|=(x''
2
+y''
2
)
1/2
, (1)
где штрих означает дифференцирование по дуговой координате .
Указание . Принять во внимание , что
x'
2
+y'
2
=1, (2)
x'x''+y'y''=0, (3)
и возведя исходное равенство (1) в квадрат, добавить в его левую часть равную
нулю левую часть равенства (3).
6. Найти координатно-параметрические уравнения плоской кривой , кри-
визна которой есть линейная функция дуговой координаты .
7. Показать аналитически, что из трех равенств r ' N =0, r"N=0, r'"N=0 сле -
дует (r'r"r'")=0.
8. Существует ли такая параметризация кривой , кроме натуральной , при
которой r ''⊥r'? Если существует, то как она связана с натуральной ? 
                                         20
                        (u''+A)v'=0,           (v''+B)u'=0,

которая имеет единственное решение при заданных начальных условиях. Эти
уравнения можно представить как уравнения Эйлера для некоторой вариацион-
ной задачи.

  3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
     1. Доказать, что:
     1.1. Касательная линии откоса во всех точках образует постоянный угол с
неизменным направлением в пространстве;
     1.2. Главная нормаль линии откоса ортогональна этому направлению.
     2. Сравнить с единицей каждую из величин x's,y's,z's.
     3. Записать уравнения Френе в матричной форме:
     3.1. В компонентной форме;
     3.2. В виде разложения по векторам базиса Френе.
     4. Как определить, является ли заданная параметризация кривой нату-
ральной?
     5. Показать, что |r's×r"ss|=|r"ss|, где s есть дуговая координата.
     6. Доказать, что

                           |x'y''−y'x''|=(x''2+y''2)1/2,                   (1)

где штрих означает дифференцирование по дуговой координате.
     Указание. Принять во внимание, что

                           x'2+y'2=1,                                      (2)
                           x'x''+y'y''=0,                                  (3)

и возведя исходное равенство (1) в квадрат, добавить в его левую часть равную
нулю левую часть равенства (3).
      6. Найти координатно-параметрические уравнения плоской кривой, кри-
визна которой есть линейная функция дуговой координаты.
      7. Показать аналитически, что из трех равенств r'N=0, r"N=0, r'"N=0 сле-
дует (r'r"r'")=0.
      8. Существует ли такая параметризация кривой, кроме натуральной, при
которой r''⊥r'? Если существует, то как она связана с натуральной?

Страницы