Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
2.4.3. Геодезическая кривизна, нормальная кривизна, геодезическое
кручение и их кинематический смысл
Для производных по дуге s кривой (3.3) на поверхности (3.1) ортов триэд-
ра Дарбу будем иметь уравнения , аналогичные уравнениям (2.4) или (2.7)
ε'
12
=(ε'
12
ε
22
)ε
22
+(ε'
12
ε
32
)ε
32
,
ε'
22
=(ε'
22
ε
12
)ε
12
+(ε'
22
ε
32
)ε
32
, (3.9)
ε'
32
=(ε'
32
ε
12
)ε
12
+(ε'
32
ε
12
)ε
12
.
Или
ε'
i2
=B
2
ε
i2
=ω
2
×ε
i2
(i=1, 2, 3), (3.10)
где B
2
– матрица угловой скорости триэдра Дарбу, для которой по аналогии с
матрицей B
1
по (2.6) имеем
B
2
=
−
−−
−
=
ωω−
ω−ω
ωω−
0)()(
)(0)(
)()(0
0
0
0
32
'
2212
'
32
32
'
2222
'
12
12
'
3222
'
12
2122
2123
2223
εεεε
εεεε
εεεε
. (3.11)
Здесь обозначим и назовем
k
g
=(ε'
12
ε
22
)=− (ε'
22
ε
12
)=ω
23
,
k
N
=(ε'
12
ε
32
)=− (ε'
32
ε
12
)=ω
22
, (3.12)
χ
g
=(ε'
22
ε
32
)=− (ε'
32
ε
22
)=ω
21
;
здесь k
g
– геодезическая кривизна; k
N
– нормальная кривизна; χ
g
– геодезиче -
ское кручение .
В соответствии с (3.12) геодезическая кривизна есть проекция вектора ω
2
угловой скорости триэдра Дарбу на нормаль N поверхности. Нормальная кри-
визна есть проекция вектора ω
2
угловой скорости триэдра Дарбу на направле -
ние b второго орта триэдра Дарбу. Геодезическое кручение – проекция ω
2
на
орт ε
12
=τ касательной кривой на поверхности.
Дифференциальные уравнения (3.9) для ортов триэдра Дарбу
ε
2
=(ε
12
,ε
22
,ε
32
) кривой на поверхности запишем в виде
d ε
12
/ds= k
g
ε
22
+k
N
ε
32
= k
g
b+k
N
N,
dε
22
/ds=− k
g
ε
11
− χ
g
ε
32
=− k
g
τ− χ
g
N, (3.13)
dε
32
/ds=− k
N
ε
12
− χ
g
ε
22
=− k
N
τ− χ
g
b.
Дифференциальные уравнения - формулы Френе для той же кривой
d ε
11
/ds=kε
21
=kν=k,
dε
21
/ds=− kε
11
+χε
31
=− kτ+χβ, (3.14)
dε
31
/ds=− χε
21
=− χν. 
                                                  16
  2.4.3. Геодезическая кривизна, нормальная кривизна, геодезическое
  кручение и их кинематический смысл
     Для производных по дуге s кривой (3.3) на поверхности (3.1) ортов триэд-
ра Дарбу будем иметь уравнения, аналогичные уравнениям (2.4) или (2.7)

           ε'12=(ε'12ε22)ε22+(ε'12ε32)ε32,
           ε'22=(ε'22ε12)ε12+(ε'22ε32)ε32,                                                         (3.9)
           ε'32=(ε'32ε12)ε12+(ε'32ε12)ε12.

Или
           ε'i2=B2εi2=ω2×εi2 (i=1, 2, 3),                                                         (3.10)

где B2 – матрица угловой скорости триэдра Дарбу, для которой по аналогии с
матрицей B1 по (2.6) имеем

                                   ω22 � ��                −(ε 12  ε 22 ) (ε 32  ε 12 ) �
                                                                '            '
                 �    0     −ω23                 0
                                                                                          �
           B2= ��    ω23      0          �
                                   −ω21 � =� −(ε 12 ε 22 )
                                                 '
                                                                0         −(ε 22 ε 32 ) � .
                                                                               '
                                                                                                  (3.11)
                 �   −ω22    ω21    0 �� � −(ε 32'
                                                    ε 12 ) (ε '22 ε 32 )                    �
                 �                          �                                   0             �

Здесь обозначим и назовем

           kg=(ε'12ε22)=−(ε'22ε12)=ω23,
           kN=(ε'12ε32)=−(ε'32ε12)=ω22,                                                           (3.12)
           χg=(ε'22ε32)=−(ε'32ε22)=ω21;

здесь kg – геодезическая кривизна; kN – нормальная кривизна; χg – геодезиче-
ское кручение.
      В соответствии с (3.12) геодезическая кривизна есть проекция вектора ω2
угловой скорости триэдра Дарбу на нормаль N поверхности. Нормальная кри-
визна есть проекция вектора ω2 угловой скорости триэдра Дарбу на направле-
ние b второго орта триэдра Дарбу. Геодезическое кручение – проекция ω2 на
орт ε12=τ касательной кривой на поверхности.
      Дифференциальные уравнения (3.9) для ортов триэдра Дарбу
ε2=(ε12,ε22,ε32) кривой на поверхности запишем в виде

           dε12/ds= kgε22+kNε32= kgb+kNN,
           dε22/ds=−kgε11−χgε32=−kgτ−χgN,                                                         (3.13)
           dε32/ds=−kNε12−χgε22=−kNτ−χgb.

      Дифференциальные уравнения-формулы Френе для той же кривой

           dε11/ds=kε21=kν=k,
           dε21/ds=−kε11+χε31=−kτ+χβ,                                                             (3.14)
           dε31/ds=−χε21=−χν.

Страницы