Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
и интегрирования соответствующих уравнений наглядно может быть представ -
лен с помощью блок- схемы [16–17].
Так как для кривой (14) третий орт ε
33
третьего базиса ε
3
неизменен в не-
котором базисе e =(e
1
, e
2
, e
3
), то в качестве этого базиса e есть возможность и
смысл взять некоторое фиксированное исходное положение базиса ε
3
. Тогда ба-
зис ε
3
будет совершать вращение около третьего орта e
3
= ε
33
базиса e , описы -
ваемое углом ϕ = ∫ Ω
2
d s , и для ортов базиса ε
3
в базисе e будем иметь
ε
3
= A e , A=
100
0
0
ϕϕ−
ϕ
ϕ
cossin
sincos
. (15)
Далее
ε
2
=A
23
ε
3
;
ε
1
=A
12
ε
2
;
r=∫ε
11
ds.
Данный кинематический подход в теории кривых расширяет возможно-
сти конструирования и аппроксимации кривых и поверхностей.
Задание для самостоятельной работы
Получить координатно-векторные уравнения кривой , заданной натураль-
ными уравнениями (13) или их разновидностью (14). Показать также, что для
этой кривой главная нормаль наклонена под одним и тем же углом к неизмен-
ному направлению в пространстве, определяемым вектором Ω
2
.
2.3. Линии откоса
Теорема. Для того, чтобы кривая являлась линией откоса (k/χ=λ=const),
необходимо и достаточно, чтобы направление ее вектора Дарбу было неизмен-
но.
Необходимость. Пусть кривизна k и кручение χ линии откоса удовлетво-
ряют условию
k / χ = λ =const.
Тогда для производной по дуге вектора Дарбу с учетом формул Френе имеем
dΩ/ds=(χv
s
+k(v
s
×ν))'=χ'v
s
+k'(v
s
×ν)=(χ'/χ)Ω,
что означает неизменность направления вектора Дарбу.
Достаточность. Пусть для вектора Дарбу некоторой кривой выполняется
условие
d Ω /ds=λΩ. 
                                        14
и интегрирования соответствующих уравнений наглядно может быть представ-
лен с помощью блок-схемы [16–17].
      Так как для кривой (14) третий орт ε33 третьего базиса ε3 неизменен в не-
котором базисе e=(e1, e2, e3), то в качестве этого базиса e есть возможность и
смысл взять некоторое фиксированное исходное положение базиса ε3. Тогда ба-
зис ε3 будет совершать вращение около третьего орта e3=ε33 базиса e, описы-
ваемое углом ϕ=∫Ω2ds, и для ортов базиса ε3 в базисе e будем иметь


                   cos ϕ sin ϕ 0
         ε3=Ae, A= −sin ϕ cos ϕ 0 .                                        (15)
                     0      0   1
Далее

                            ε2=A23ε3;
                            ε1=A12ε2;
                            r=∫ε11ds.

      Данный кинематический подход в теории кривых расширяет возможно-
сти конструирования и аппроксимации кривых и поверхностей.
Задание для самостоятельной работы
      Получить координатно-векторные уравнения кривой, заданной натураль-
ными уравнениями (13) или их разновидностью (14). Показать также, что для
этой кривой главная нормаль наклонена под одним и тем же углом к неизмен-
ному направлению в пространстве, определяемым вектором Ω2.

  2.3. Линии откоса
     Теорема. Для того, чтобы кривая являлась линией откоса (k/χ=λ=const),
необходимо и достаточно, чтобы направление ее вектора Дарбу было неизмен-
но.
     Необходимость. Пусть кривизна k и кручение χ линии откоса удовлетво-
ряют условию

                                  k/χ=λ=const.

Тогда для производной по дуге вектора Дарбу с учетом формул Френе имеем

                      dΩ/ds=(χvs+k(vs×ν))'=χ'vs+k'(vs×ν)=(χ'/χ)Ω,

что означает неизменность направления вектора Дарбу.
      Достаточность. Пусть для вектора Дарбу некоторой кривой выполняется
условие

                            dΩ/ds=λΩ.

Страницы