Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
2.2.6. Классификация, ранг кривых и обобщенные уравнения Френе
Наряду с базисом Френе
(τ,ν,β)=ε
1
=(ε
11
,ε
21
,ε
31
)
рассмотрим базис ε
2
=(ε
12
,ε
22
,ε
32
), орты которого связаны с ортами базиса Френе
следующим образом
ε
12
=ε
21
,
ε
22
=− cosα
2
ε
11
+sinα
2
ε
31
, (7)
ε
32
=sinα
2
ε
11
+cosα
2
ε
31;
ε
11
=− cosα
2
ε
22
+sinα
2
ε
32
,
ε
21
=ε
12
, (8)
ε
31
=sinα
2
ε
22
+cosα
2
ε
32
.
Или в матричной форме
ε
2
=A
21
ε
1
, (9)
ε
1
=
1
21
−
A
ε
2
=A
12
ε
2
. (10)
Матрицу A
21
постройте самостоятельно в качестве упражнения . Продиф-
ференцируем (7) по дуге и используем формулы Френе и соотношения (4), (8),
получим дифференциальные уравнения для ортов базиса ε
2
типа формул Френе
(Выполнить самостоятельно!).
ε′
12
=Ωε
22
,
ε′
22
=− Ωε
12
+α′
2
ε
32
, (11)
ε′
32
=− α′
2
ε
22
.
(Самостоятельно записать эту систему в матричной форме!).
Как видим , по структуре эти уравнения совершенно аналогичны уравне -
ниям Френе и отличаются от них лишь тем, что вместо кривизны и кручения
коэффициентами в них являются (α
2
)′ и Ω. Эти коэффициенты и некоторая по-
стоянная α
20
также могут рассматриваться как инварианты кривой и как разно-
видность ее натуральных уравнений .
Ω=Ω(s), α′
2
=α'
2
(s), α
20
. (12)
Допустим , что с этими коэффициентами уравнения (11) удается проин -
тегрировать и тем определить орты второго базиса. Тогда по формулам (8) или
(10), определяя предварительно из (12) угол α
2
с точностью до постоянной α
20
,
легко находятся и орты первого базиса – базиса Френе, а затем и координатно-
векторные параметрические уравнения кривой . 
                                              12
  2.2.6. Классификация, ранг кривых и обобщенные уравнения Френе
     Наряду с базисом Френе
                                    (τ,ν,β)=ε1=(ε11,ε21,ε31)
рассмотрим базис ε2=(ε12,ε22,ε32), орты которого связаны с ортами базиса Френе
следующим образом

         ε12=ε21,
         ε22=−cosα2ε11+sinα2ε31,                                           (7)
         ε32=sinα2ε11+cosα2ε31;

             ε11=−cosα2ε22+sinα2ε32,
             ε21=ε12,                                                      (8)
             ε31=sinα2ε22+cosα2ε32.

Или в матричной форме

             ε2=A21ε1,                                                     (9)

             ε1= A −211 ε2=A12ε2.                                         (10)

     Матрицу A21 постройте самостоятельно в качестве упражнения. Продиф-
ференцируем (7) по дуге и используем формулы Френе и соотношения (4), (8),
получим дифференциальные уравнения для ортов базиса ε2 типа формул Френе
(Выполнить самостоятельно!).

             ε′12=Ωε22,
             ε′22=−Ωε12+α′2ε32,                                           (11)
             ε′32=−α′2ε22.

     (Самостоятельно записать эту систему в матричной форме!).
     Как видим, по структуре эти уравнения совершенно аналогичны уравне-
ниям Френе и отличаются от них лишь тем, что вместо кривизны и кручения
коэффициентами в них являются (α2)′ и Ω. Эти коэффициенты и некоторая по-
стоянная α20 также могут рассматриваться как инварианты кривой и как разно-
видность ее натуральных уравнений.

                   Ω=Ω(s), α′2=α'2(s), α20.                               (12)

       Допустим, что с этими коэффициентами уравнения (11) удается проин-
тегрировать и тем определить орты второго базиса. Тогда по формулам (8) или
(10), определяя предварительно из (12) угол α2 с точностью до постоянной α20,
легко находятся и орты первого базиса – базиса Френе, а затем и координатно-
векторные параметрические уравнения кривой.

Страницы