Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
теорема Менье не является характерной только для поверхностей, а проистека-
ет из геометрических свойств взаимообратных чисел, имеющих более общий
характер, благодаря чему она усиливается и обобщается и на геодезическую
кривизну поверхности (см . далее)). На ее основе в нашем случае можно также
утверждать, в частности, что конец вектора c лежит на линии, соединяющей
концы векторов Ω
0
× ( − a ) и κΩ
0
, перпендикулярной направлению v
s
/ Ω , вдоль ко-
торого после поворота будет направлен вектор Ω = k + χ ( рис. 2) (это подтвержда-
ется и непосредственной проверкой ). Так что, концы векторов Ω
0
× ( − a ) и κΩ
0
ортогонально проецируются на эту линию в конец c, который делит отрезок
между концами этих двух векторов в отношении, равном tg
2
α.
Данная теорема также может служить также критерием контроля пра-
вильности и точности изображения обратных длин и углов при построении.
2.2.4. Различные инварианты и натуральные уравнения кривых. Ана-
лиз преимущества углового инварианта перед другими
Так как кривизна и кручение , определяющие кривую и являющиеся ее
инвариантами [1], однозначно выражаются с одной стороны через a и b, с дру-
гой – через Ω и α
2
, то a , b и Ω, α
2
являются двумя парами инвариантов кривой ,
а каждая из этих пар , заданная в функции времени, является разновидностью
натуральных уравнений кривой . Инварианты a , b обладают большей наглядно-
стью по сравнению с кривизной и кручением, а также лучшими возможностями
для измерения . Инварианты Ω , α
2
также характерны своей наглядностью , яс-
ным кинематическим и геометрическим смыслом . То, что одним из инвариан -
тов является угол , открывает некоторые представляющие интерес возможности
перехода от базиса Френе к другим базисам , дифференциальные уравнения для
ортов которых могут оказаться значительно проще, чем уравнения Френе.
Формулы (4)–(6), связывающие различные инварианты , могут рассматриваться
как замена внутренних переменных функций .
Теперь имеем три пары инвариантов кривой и соответственно три разно-
видности натуральных уравнений
k = k ( s ), χ=χ(s); a=a(s), b=b(s); Ω=Ω(s), α
2
=α
2
(s).
Упражнение .
Переход от дифференциальных уравнений - формул Френе с переменными
коэффициентами к уравнениям аналогичной структуры с постоянными коэф-
фициентами возможен в соответствии с теоремой Ляпунова в случае , если пе -
ременные коэффициенты являются периодическими функциями. В качестве
примера получите уравнения типа формул Френе для кривой с периодическими
кривизной и кручением. 
                                      10
теорема Менье не является характерной только для поверхностей, а проистека-
ет из геометрических свойств взаимообратных чисел, имеющих более общий
характер, благодаря чему она усиливается и обобщается и на геодезическую
кривизну поверхности (см. далее)). На ее основе в нашем случае можно также
утверждать, в частности, что конец вектора c лежит на линии, соединяющей
концы векторов Ω0×(−a) и κΩ0, перпендикулярной направлению vs/Ω, вдоль ко-
торого после поворота будет направлен вектор Ω=k+χ (рис. 2) (это подтвержда-
ется и непосредственной проверкой). Так что, концы векторов Ω0×(−a) и κΩ0
ортогонально проецируются на эту линию в конец c, который делит отрезок
между концами этих двух векторов в отношении, равном tg2α.
      Данная теорема также может служить также критерием контроля пра-
вильности и точности изображения обратных длин и углов при построении.

  2.2.4. Различные инварианты и натуральные уравнения кривых. Ана-
  лиз преимущества углового инварианта перед другими
      Так как кривизна и кручение, определяющие кривую и являющиеся ее
инвариантами [1], однозначно выражаются с одной стороны через a и b, с дру-
гой – через Ω и α2, то a, b и Ω, α2 являются двумя парами инвариантов кривой,
а каждая из этих пар, заданная в функции времени, является разновидностью
натуральных уравнений кривой. Инварианты a, b обладают большей наглядно-
стью по сравнению с кривизной и кручением, а также лучшими возможностями
для измерения. Инварианты Ω, α2 также характерны своей наглядностью, яс-
ным кинематическим и геометрическим смыслом. То, что одним из инвариан-
тов является угол, открывает некоторые представляющие интерес возможности
перехода от базиса Френе к другим базисам, дифференциальные уравнения для
ортов которых могут оказаться значительно проще, чем уравнения Френе.
Формулы (4)–(6), связывающие различные инварианты, могут рассматриваться
как замена внутренних переменных функций.
      Теперь имеем три пары инвариантов кривой и соответственно три разно-
видности натуральных уравнений

            k=k(s), χ=χ(s);   a=a(s), b=b(s);   Ω=Ω(s), α2=α2(s).

     Упражнение.
     Переход от дифференциальных уравнений-формул Френе с переменными
коэффициентами к уравнениям аналогичной структуры с постоянными коэф-
фициентами возможен в соответствии с теоремой Ляпунова в случае, если пе-
ременные коэффициенты являются периодическими функциями. В качестве
примера получите уравнения типа формул Френе для кривой с периодическими
кривизной и кручением.

Страницы