Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 8 стр.

                                         8
до пересечения с прямой AB, точка С будет четвертой гармонической, при этом
длина r2/a отрезка OC выражается числом, обратным по отношению к числу a,
выражающему длину отрезка OD. угол π/2−α, как угол между радиусом-лучом
OE=b и лучом OD определяется с точностью до знака. Если под лучом OD по-
нимать вектор Дарбу r2Ω угловой скорости триэдра Френе кривой, измеренный
с помощью масштабной единицы r, то угол α будет иметь смысл угла между
бинормалью и вектором Дарбу угловой скорости триэдра Френе. И тогда этот
вектор Дарбу разлагается определенным образом на вектор кривизны r2k и век-
тор кручения r2χ. Отсюда следует, что для определения кривой достаточно
знать длину вектора Дарбу или длину обратного ему вектора a2+b2.
      Какова связь углов t и π/2−α? Разность этих углов выбором масштабного
единичного отрезка можно свести к нулю. Для этого за единицу следует взять
величину b винтового параметра (рис. 2).
      Считая точку D фокусом эллипса, угол t=π/2−α будет являться эксцен-
трической аномалией точки эллипса, имеющей ту же абсциссу, что и фокус. То-
гда величина h есть малая полуось эллипса, а r=OB – большая. Луч OO′ дает
точку эллипса с эксцентрической аномалией π/2−2α, истинная аномалия кото-
рой определится по известной из теоретической механики формуле.
      Рассмотрим случай, когда отношение λ равно характеристическому числу
φ1=( 5 −1)/2 золотой пропорции, когда DB/AD=AD/AB=AD/2r получим
       λ=φ1=(r−ρ)/(r+ρ)=(c−r)/(c+r),
       tgt/2=h/AD=(DB/tgt/2)/AD=(AD/2r)/tgt/2=((r+ρ)/2r)/tgt/2=(1/2)(1+cost)/tgt/2 =>
       tgt/2=cost/2=λ1/2, sint/2=λ=(c−r)/(c+r); (c/r−1)/(c/r+1)=φ1;
       (c/r−1)=φ1(c/r+1); r/c=(1−φ1)/(1+φ1)=(1−tg2t/2)/(1+tg2t/2)=cost=φ13.
Аналогично то же самое найдем для ρ/r.
Таким образом, для отношений в этом случае имеем
       r/c=ρ/r=cost/2=tgt/2=sin3t=φ13, tgt=2 φ1 /φ2=2(1+φ1)2 φ1 .
      При перемещении от точки к точке кривой гармоническое отношение бу-
дет иметь место, но с разным, вообще говоря, значением λ. Кривые, у которых
имеются точки, где λ имеет определенное значение, например λ=φ1, будут со-
ставлять определенный таким образом класс.
      Четыре переменных, состоящие в гармоническом отношении могут яв-
ляться частными решениями уравнения Рикатти. Приведение формул Френе к
одному уравнению Рикатти в комплексных переменных осуществляется с по-
мощью замен переменных, одной из которых является замена через тангенс по-
ловинного аргумента типа (7′′), которая раскрывает сущность этой замены.
      Для применения преобразований инверсии радиус-вектор ρ=r2Ω инверти-
руемой точки D следует совместить с радиус-вектором с инверсно соответст-
венной точки C, повернув его сначала на π около направления Ω, а затем на –
на угол α по (7′′) против хода стрелки часов около орта ν главной нормали, на-
правленного в сторону вогнутости кривой. Это равносильно тому, что на пря-
мой, содержащей равный по модулю радиусу кривизны вектор Ω0×(−R), в на-
правлении этого вектора нужно расположить вектор кривизны k=kβ обратно-
модульной величины, а на направлении вектора κΩ0 – вектор кручения χ=χvs.