Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
2.2.3. Теорема о взаимнообратных величинах
Свойства преобразования инверсии проистекают из теоремы о взаимно
обратных величинах (обобщающей также теорему Менье из теории поверхно-
стей). Приведем эту теорему в таком наиболее широком и усиленном варианте .
Ортогональные составляющие вектора прямомодульной группы и взаим -
но им обратномодульные составляющие , начало которых помещено в одной
точке , связаны тем, что векторная сумма одних ортогональна разности других,
причем концы составляющих одной группы ортогонально проецируется на ли-
нию векторной суммы составляющих другой группы в конец обратномодуль-
ной суммы последних, который делит упоминавшуюся разность в отношении,
равном квадрату отношения длин первых, причем вектор разности составляю -
щих обратномодульной (прямомодульной ) суммы , направленной также как и
прямомодульная (обратномодульная ) сумма, параллелен разности прямомо-
дульных (обратномодульных) составляющих, имеет место равенство отрезков
OG=HB′, OE=H′A′ и конец обратномодульной суммы является четвертой гар -
монической точкой , инверсно соответственной концу прямомодульной суммы
(рис. 2).
Положения этой теоремы могут быть перенесены непосредственно на
кручение , радиус кручения , кривизны и радиусы кривизн кривых вообще и се -
чений поверхности, в частности, как на взаимно обратные величины . (Поэтому
Рис.
2
. Преобразование инверсии кривизны и круче -
ния . Гармоническое отношение . t/2=(π/2− α)/2.
15
8
0
5
3
A
O
ρ=r
2
Ω
D
C
r
2
χ
a
α
ξ
,
a
η
,
b
R
κ
κ
+R
2
α
t
/2
E
h
A
′
O
′
12, D′
r
2
k
B
′
(a/b)
2
b
(b/a)
2
a
a
2
/
b
b
2
/
a
b
κ
−
R
c=Ω
0
/Ω
B
F
′
ρ
10
F
10
13
H
H′
G 
                                                        9


  2.2.3. Теорема о взаимнообратных величинах
      Свойства преобразования инверсии проистекают из теоремы о взаимно
обратных величинах (обобщающей также теорему Менье из теории поверхно-
стей). Приведем эту теорему в таком наиболее широком и усиленном варианте.

                              η, b
                                      A′
                                κ
                                       κ−R                                              κ+R

                              a2/b
                                                                                   13

                                      H′

                            (a/b)2b
                                                                     O′
                                                                10                                 15
                                                                     2α

                                                        8
                                      E                                        C
                                                                                12,     D′
                                                                           ρ
                                 b                                         c=Ω0/Ω
                                                   5                  10
                                           h                     F′
                                               3            B
                                           0
                                                        F
                               r2χ                D
                                               ρ=r2 Ω
                                O          α            G                       H             B′
                                          r2k (b/a)2a                          a b2/a R            ξ, a
                      t/2

                  A


                  Рис. 2. Преобразование инверсии кривизны и круче-
                  ния. Гармоническое отношение. t/2=(π/2−α)/2.
      Ортогональные составляющие вектора прямомодульной группы и взаим-
но им обратномодульные составляющие, начало которых помещено в одной
точке, связаны тем, что векторная сумма одних ортогональна разности других,
причем концы составляющих одной группы ортогонально проецируется на ли-
нию векторной суммы составляющих другой группы в конец обратномодуль-
ной суммы последних, который делит упоминавшуюся разность в отношении,
равном квадрату отношения длин первых, причем вектор разности составляю-
щих обратномодульной (прямомодульной) суммы, направленной также как и
прямомодульная (обратномодульная) сумма, параллелен разности прямомо-
дульных (обратномодульных) составляющих, имеет место равенство отрезков
OG=HB′, OE=H′A′ и конец обратномодульной суммы является четвертой гар-
монической точкой, инверсно соответственной концу прямомодульной суммы
(рис. 2).
      Положения этой теоремы могут быть перенесены непосредственно на
кручение, радиус кручения, кривизны и радиусы кривизн кривых вообще и се-
чений поверхности, в частности, как на взаимно обратные величины. (Поэтому

Страницы