Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Соотношение (7′) связы -
вает два кинематико-
геометрических инварианта: Ω
и c=
22
ba +
=1/Ω. Величина c,
обратная угловой скорости,
имеет смысл радиуса враще-
ния , конец которого при пово-
роте на угол dϕ описывает эле -
ментарную дугу в плоскости
вращения , равную соответст-
вующей элементарной дуге
пространственной кривой
d s =
22
ba +
d ϕ =(1/Ω
z
)dϕ [15].
Следует заметить, что
любую плоскую кривую можно
рассматривать как проекцию
подходящей пространственной
кривой , например, как проек-
цию линии откоса на плос-
кость, ортогональную тому не-
изменному в пространстве на-
правлению , ее касательная с
которым образует постоянный
угол . Тогда полученные ре -
зультаты будут иметь смысл и
для плоской кривой .
Проведем из точки D перпендикуляр h к диаметру AB до пересечения с
окружностью в точке E , которая , соединенная с концами диаметра будет яв-
ляться вершиной прямого угла треугольника с острым углом t /2. Тогда с учетом
(7′) получим
λ =(r
2
− ρ
2
)/(r+ρ)
2
=h
2
/(r+ρ)
2
=tg
2
(t/2), (7′′)
r/c=ρ/r=cost, ρ/c=r
2
/c
2
=cos
2
t.
Отсюда следует, что касательная к окружности инверсии, проведенная из
точки С , касается этой окружности в конце E высоты h , который является вер-
шиной и второго прямого угла, образованного прямой CE и радиусом окружно-
сти, проведенным в точку касания , причем, гипотенузы лежат на одной прямой .
Это дает способ построения четвертой гармонической точки C по трем
данным A, D, В , a также способ обращения числа или отрезка. Чтобы обратить
число a, измеряемое отрезком OD при единичном масштабном отрезке
AB/2=OB=r, из конца D отрезка проводим перпендикуляр до пересечения в точ-
ке E с окружностью радиуса r и с центром O , построенной на AB как на диамет-
ре (рис. 1 – 2). Из точки E перпендикулярно радиусу EO проводим прямую EC
Рис.
1
. Преобразование инверсии кривизны и кру-
чения . Гармоническое отношение
A
O
c=Ω
0
/Ω
B
ρ
=r
2
Ω
D
C
r
k
r
2
χ
b
a
α
ξ
,
a
η
,
b
R
κ
κ
−R
κ
+R
2
α
t
/2
E
h
                                        7
       Соотношение (7′) связы-
                                      η, b
вает       два      кинематико-
геометрических инварианта: Ω             κ κ−R
                                                                  κ+R
и c= a +b =1/Ω. Величина c,
        2    2


обратная угловой скорости,
имеет смысл радиуса враще-
ния, конец которого при пово-
роте на угол dϕ описывает эле-
ментарную дугу в плоскости
вращения, равную соответст-
вующей элементарной дуге                               2α
пространственной         кривой
ds= a 2 +b 2 dϕ=(1/Ωz)dϕ [15].                                C
                                         b
       Следует заметить, что
                                                          c=Ω0/Ω
любую плоскую кривую можно               E
                                             h      B
рассматривать как проекцию
подходящей пространственной            r2χ
                                                D
кривой, например, как проек-                  ρ=r2Ω
                                         O α2
цию линии откоса на плос-                   rk               a         R ξ, a
кость, ортогональную тому не- A t/2
изменному в пространстве на-
правлению, ее касательная с
которым образует постоянный
угол. Тогда полученные ре- Рис. 1. Преобразование инверсии кривизны и кру-
зультаты будут иметь смысл и чения. Гармоническое отношение
для плоской кривой.
       Проведем из точки D перпендикуляр h к диаметру AB до пересечения с
окружностью в точке E, которая, соединенная с концами диаметра будет яв-
ляться вершиной прямого угла треугольника с острым углом t/2. Тогда с учетом
(7′) получим

              λ=(r2−ρ2)/(r+ρ)2=h2/(r+ρ)2=tg2(t/2),                       (7′′)
              r/c=ρ/r=cost, ρ/c=r2/c2=cos2t.

      Отсюда следует, что касательная к окружности инверсии, проведенная из
точки С, касается этой окружности в конце E высоты h, который является вер-
шиной и второго прямого угла, образованного прямой CE и радиусом окружно-
сти, проведенным в точку касания, причем, гипотенузы лежат на одной прямой.
      Это дает способ построения четвертой гармонической точки C по трем
данным A, D, В, a также способ обращения числа или отрезка. Чтобы обратить
число a, измеряемое отрезком OD при единичном масштабном отрезке
AB/2=OB=r, из конца D отрезка проводим перпендикуляр до пересечения в точ-
ке E с окружностью радиуса r и с центром O, построенной на AB как на диамет-
ре (рис. 1 – 2). Из точки E перпендикулярно радиусу EO проводим прямую EC

Страницы