Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
2.2. Некоторое обобщение формул Френе
Дифференциальные уравнения – обычные формулы Френе в некотором
базисе e =(e
1
,e
2
,e
3
), относительно которого каждая точка кривой , фиксированная
по значению ее параметра, неизменна, имеют вид
d τ |/ds= kν,
dν/ds=− kτ +χβ, (1)
dβ/ds= − χν.
Вводя обозначения
( τ , ν, β)=ε
1
=(ε
11
, ε
21
, ε
31
),
формулы Френе запишем также в виде
d ε
i1
/ds=Bε
i1
=Ω×ε
i1
, (i=1,2,3),
где Ω – вектор Дарбу угловой скорости поворота триэдра Френе при изменении
натурального параметра s, для которого имеем
Ω=(Ω
1
, Ω
2
, Ω
3
)=χε
1
+kε
3
=χvτ+kv(τ×ν)=χv+k(v×ν), v=vτ. (2)
Или
dε
1
/ds=B
т
ε
1
, B=
−
−
00
0
00
χ
χk
k
.
2.2.1. Ось кинематического винта триэдра Френе. Винтовой радиус и
параметр винта (в сравнении с аналогичными характеристиками ки -
нематического винта тела и винтовой линии)
Ближайшая от точки M = r ( s ) кривой точка N оси кинематического винта
триэдра Френе кривой в точке M определится вектором a = MN
a=Ω×v/Ω
2
=[k/(k
2
+χ
2
)]ν. (3)
Модуль вектора a будем называть винтовым радиусом. Для него имеем
a=|a|=k/(k
2
+χ
2
)=(aν)=(Ω×v)ν/Ω
2
=Ω(v×ν)/Ω
2
=(Ω
β
)/Ω
2
=(1/Ω)cosα
2
. 
                                             5


  2.2. Некоторое обобщение формул Френе
      Дифференциальные уравнения – обычные формулы Френе в некотором
базисе e=(e1,e2,e3), относительно которого каждая точка кривой, фиксированная
по значению ее параметра, неизменна, имеют вид

                         dτ|/ds= kν,
                         dν/ds=−kτ +χβ,                                   (1)
                         dβ/ds= −χν.

Вводя обозначения

                    (τ, ν, β)=ε1=(ε11, ε21, ε31),

формулы Френе запишем также в виде

dεi1/ds=Bεi1=Ω×εi1, (i=1,2,3),

где Ω – вектор Дарбу угловой скорости поворота триэдра Френе при изменении
натурального параметра s, для которого имеем

               Ω=(Ω1, Ω2, Ω3)=χε1+kε3=χvτ+kv(τ×ν)=χv+k(v×ν), v=vτ.        (2)

Или

                                                 � 0 −k 0 �
                                             �             �
                            dε1/ds=Bтε1, B= � k 0 −χ � .
                                               �             �
                                                 � 0 χ 0 �
                                                  �            �


  2.2.1. Ось кинематического винта триэдра Френе. Винтовой радиус и
  параметр винта (в сравнении с аналогичными характеристиками ки-
  нематического винта тела и винтовой линии)
      Ближайшая от точки M=r(s) кривой точка N оси кинематического винта
триэдра Френе кривой в точке M определится вектором a=MN


                         a=Ω×v/Ω2=[k/(k2+χ2)]ν.                           (3)

      Модуль вектора a будем называть винтовым радиусом. Для него имеем

         a=|a|=k/(k2+χ2)=(aν)=(Ω×v)ν/Ω2=Ω(v×ν)/Ω2=(Ωβ)/Ω2=(1/Ω)cosα2.

Страницы