Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 5 стр.

                                             5


  2.2. Некоторое обобщение формул Френе
      Дифференциальные уравнения – обычные формулы Френе в некотором
базисе e=(e1,e2,e3), относительно которого каждая точка кривой, фиксированная
по значению ее параметра, неизменна, имеют вид

                         dτ|/ds= kν,
                         dν/ds=−kτ +χβ,                                   (1)
                         dβ/ds= −χν.

Вводя обозначения

                    (τ, ν, β)=ε1=(ε11, ε21, ε31),

формулы Френе запишем также в виде

dεi1/ds=Bεi1=Ω×εi1, (i=1,2,3),

где Ω – вектор Дарбу угловой скорости поворота триэдра Френе при изменении
натурального параметра s, для которого имеем

               Ω=(Ω1, Ω2, Ω3)=χε1+kε3=χvτ+kv(τ×ν)=χv+k(v×ν), v=vτ.        (2)

Или

                                                 � 0 −k 0 �
                                             �             �
                            dε1/ds=Bтε1, B= � k 0 −χ � .
                                               �             �
                                                 � 0 χ 0 �
                                                  �            �


  2.2.1. Ось кинематического винта триэдра Френе. Винтовой радиус и
  параметр винта (в сравнении с аналогичными характеристиками ки-
  нематического винта тела и винтовой линии)
      Ближайшая от точки M=r(s) кривой точка N оси кинематического винта
триэдра Френе кривой в точке M определится вектором a=MN


                         a=Ω×v/Ω2=[k/(k2+χ2)]ν.                           (3)

      Модуль вектора a будем называть винтовым радиусом. Для него имеем

         a=|a|=k/(k2+χ2)=(aν)=(Ω×v)ν/Ω2=Ω(v×ν)/Ω2=(Ωβ)/Ω2=(1/Ω)cosα2.