Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
2. ИЗБРАННЫЕ ТЕМЫ
2.1. Выпуклость и вогнутость кривой
Направлением, соответствующим вогнутости кривой в некоторой ее
данной точке будем называть то, которое указывает сторону от спрямляющей
плоскости вдоль главной нормали, по которую находятся все точки кривой из
достаточно малой окрестности данной точки. (Противоположное этому будет
направлением выпуклости).
Нетрудно показать, что это направление , eсли определено в данной точке
кривой , то задается вектором ν , который будем называть ортом главной норма-
ли кривой , направленным в сторону вогнутости, или просто ортом главной
нормали, вычисляемый в этой точке по формуле
ν=− (r''×r')×r'/(|r''×r'||r'|).
Действительно, пусть имеется гладкая как минимум бирегулярная в окре -
стности некоторой точки p кривая r = r ( p ). Спрямляющая плоскость в этой точке
определяется ортогональным ей вектором ν . Отклонение окрестных точек от
этой плоскости в сторону ν будем характеризовать величиной δ =(Δ rν), для ко-
торой имеем после разложения r ( p ) в ряд по степеням Δ p
δ=(Δ r⋅ν)=(1/2)|r'×r"|(Δ p)
2
/|r'|+o(Δ p)
2
.
Таким образом , при достаточно малом Δ p отклонение δ для бирегулярной
гладкой кривой будет положительным и, следовательно, все точки кривой , дос-
таточно близкие от данной ее точки, будут лежать по одну сторону от спрям-
ляющей плоскости в положительном направлении ν .
Кстати отметим , что кривизна с точностью до Δ p пропорциональна от-
клонению δ , приходящемуся на единицу |dr|.
Вычислим отклонение точек кривой от соприкасающейся плоскости в
сторону бинормали.
(Δ r⋅β)=(1/6)(r'''r'r")(Δ p)
3
/|r'×r"|+o(Δ p)
3
.
Отсюда видно, что кручение с точностью до (Δp)
3
пропорционально отклоне-
нию , приходящемуся на единицу величины |dr×d
2
r|.
Кроме приведенного, можно дать еще следующее определение вогнуто-
сти.
Направлением, соответствующим вогнутости кривой в некоторой ее
данной точке будет то, которое указывается множеством точек главной полу-
нормали, от которых данная точка максимально удалена по сравнению с дру-
гими точками кривой из окрестности данной .
(Противоположному направлению – выпуклости будет соответствовать
минимальное удаление ). 
                                         4
  2. ИЗБРАННЫЕ ТЕМЫ
  2.1. Выпуклость и вогнутость кривой
     Направлением, соответствующим вогнутости кривой в некоторой ее
данной точке будем называть то, которое указывает сторону от спрямляющей
плоскости вдоль главной нормали, по которую находятся все точки кривой из
достаточно малой окрестности данной точки. (Противоположное этому будет
направлением выпуклости).
     Нетрудно показать, что это направление, eсли определено в данной точке
кривой, то задается вектором ν, который будем называть ортом главной норма-
ли кривой, направленным в сторону вогнутости, или просто ортом главной
нормали, вычисляемый в этой точке по формуле

                           ν=−(r''×r')×r'/(|r''×r'||r'|).

      Действительно, пусть имеется гладкая как минимум бирегулярная в окре-
стности некоторой точки p кривая r=r(p). Спрямляющая плоскость в этой точке
определяется ортогональным ей вектором ν. Отклонение окрестных точек от
этой плоскости в сторону ν будем характеризовать величиной δ=(Δrν), для ко-
торой имеем после разложения r(p) в ряд по степеням Δp

                    δ=(Δr⋅ν)=(1/2)|r'×r"|(Δp)2/|r'|+o(Δp)2.

     Таким образом, при достаточно малом Δp отклонение δ для бирегулярной
гладкой кривой будет положительным и, следовательно, все точки кривой, дос-
таточно близкие от данной ее точки, будут лежать по одну сторону от спрям-
ляющей плоскости в положительном направлении ν.
     Кстати отметим, что кривизна с точностью до Δp пропорциональна от-
клонению δ, приходящемуся на единицу |dr|.
     Вычислим отклонение точек кривой от соприкасающейся плоскости в
сторону бинормали.

                   (Δr⋅β)=(1/6)(r'''r'r")(Δp)3/|r'×r"|+o(Δp)3.

Отсюда видно, что кручение с точностью до (Δp)3 пропорционально отклоне-
нию, приходящемуся на единицу величины |dr×d2r|.
     Кроме приведенного, можно дать еще следующее определение вогнуто-
сти.
     Направлением, соответствующим вогнутости кривой в некоторой ее
данной точке будет то, которое указывается множеством точек главной полу-
нормали, от которых данная точка максимально удалена по сравнению с дру-
гими точками кривой из окрестности данной.
     (Противоположному направлению – выпуклости будет соответствовать
минимальное удаление).

Страницы