ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Для ясного понимания основных положений дифференциальной геомет-
рии необходимо четко представлять, какие объекты и какими средствами изу-
чает дифференциальная геометрия , какое соотношение между элементарной
школьной геометрией, аналитической , дифференциальной классической и со-
временной геометрией, а также внутреннюю логически обусловленную струк-
туру данного предмета.
Необходимо также помнить, что успех той или иной науки, ее прогресс и
развитие тесно связаны с уровнем абстрагирования . В не меньшей, а даже в
большей степени, это относится и к дифференциальной геометрии. Хотя мы
вправе ожидать от геометрии вообще и от дифференциальной геометрии, в ча-
стности, большей наглядности, чем от других наук, тем не менее при повыше-
нии уровня абстракции мы вынуждены отходить от наглядных представлений и
в геометрии, (но по житейским правилам пытаемся найти привычные аналогии,
ассоциации и ухватиться за них как за соломинку). Иногда это получается и
приносит определенную пользу, а в некоторых случаях и просто вредно. Исти-
на, как всегда, - на золотой середине. По крайней мере необходимо помнить,
что и в дифференциальной геометрии не всегда можно и нужно наглядно пред-
ставить то или иное понятие . А попытки приводят к упрощенности и примити-
визму. Однако не всегда будет много пользы и от чрезмерной отвлеченности от
сути некоторых вполне понятных вещей в рамках рассматриваемых задач.
Классическая дифференциальная геометрия оперирует более наглядными поня-
тиями, в то время как современная дифференциальная геометрия и топология
более абстрактны . Иногда, для того, чтобы перебросить мостик от классической
геометрии к современной , представляется необходимым уже в классической
геометрии вводить некоторые понятия современной геометрии, такие , напри-
мер, как топологическое отображение и др., хотя со стороны это может пока-
заться излишним , так как крайней необходимости для задач самой классиче -
ской геометрии в этом может и не быть.
Как в теории, так и при решении задач важно различать: вектор (обозна-
чаемый обычно в литературе латинскими буквами, жирным шрифтом , а также
буквой с черточкой или со стрелкой вверху); его модуль (абсолютную величину
или длину), являющийся скалярной неотрицательной величиной и часто обо-
значаемый теми же буквами, что и соответствующий вектор, только обычным
шрифтом , без черточек, стрелочек и символов модуля; проекцию вектора на
ось, являющуюся алгебраической величиной и обозначаемой обычно буквой с
индексом соответствующей оси; составляющую вектора на ось, являющуюся
одним из векторов , на которые раскладывается данный вектор. Иногда встре -
чаются и другие обозначения , понятные из текста.
При чтении литературы для глубокого понимания и проникновения в суть
вещей не ленитесь внимательно прочитать введение , исторический обзор, если
таковой имеется и не спешите по вредной привычке отбросить их как нечто не-
нужное . Полезно перед этим хотя бы полистать книгу и просмотреть оглавле -
ние .
3
1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Для ясного понимания основных положений дифференциальной геомет-
рии необходимо четко представлять, какие объекты и какими средствами изу-
чает дифференциальная геометрия, какое соотношение между элементарной
школьной геометрией, аналитической, дифференциальной классической и со-
временной геометрией, а также внутреннюю логически обусловленную струк-
туру данного предмета.
Необходимо также помнить, что успех той или иной науки, ее прогресс и
развитие тесно связаны с уровнем абстрагирования. В не меньшей, а даже в
большей степени, это относится и к дифференциальной геометрии. Хотя мы
вправе ожидать от геометрии вообще и от дифференциальной геометрии, в ча-
стности, большей наглядности, чем от других наук, тем не менее при повыше-
нии уровня абстракции мы вынуждены отходить от наглядных представлений и
в геометрии, (но по житейским правилам пытаемся найти привычные аналогии,
ассоциации и ухватиться за них как за соломинку). Иногда это получается и
приносит определенную пользу, а в некоторых случаях и просто вредно. Исти-
на, как всегда, - на золотой середине. По крайней мере необходимо помнить,
что и в дифференциальной геометрии не всегда можно и нужно наглядно пред-
ставить то или иное понятие. А попытки приводят к упрощенности и примити-
визму. Однако не всегда будет много пользы и от чрезмерной отвлеченности от
сути некоторых вполне понятных вещей в рамках рассматриваемых задач.
Классическая дифференциальная геометрия оперирует более наглядными поня-
тиями, в то время как современная дифференциальная геометрия и топология
более абстрактны. Иногда, для того, чтобы перебросить мостик от классической
геометрии к современной, представляется необходимым уже в классической
геометрии вводить некоторые понятия современной геометрии, такие, напри-
мер, как топологическое отображение и др., хотя со стороны это может пока-
заться излишним, так как крайней необходимости для задач самой классиче-
ской геометрии в этом может и не быть.
Как в теории, так и при решении задач важно различать: вектор (обозна-
чаемый обычно в литературе латинскими буквами, жирным шрифтом, а также
буквой с черточкой или со стрелкой вверху); его модуль (абсолютную величину
или длину), являющийся скалярной неотрицательной величиной и часто обо-
значаемый теми же буквами, что и соответствующий вектор, только обычным
шрифтом, без черточек, стрелочек и символов модуля; проекцию вектора на
ось, являющуюся алгебраической величиной и обозначаемой обычно буквой с
индексом соответствующей оси; составляющую вектора на ось, являющуюся
одним из векторов, на которые раскладывается данный вектор. Иногда встре-
чаются и другие обозначения, понятные из текста.
При чтении литературы для глубокого понимания и проникновения в суть
вещей не ленитесь внимательно прочитать введение, исторический обзор, если
таковой имеется и не спешите по вредной привычке отбросить их как нечто не-
нужное. Полезно перед этим хотя бы полистать книгу и просмотреть оглавле-
ние.
