Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Для параметра b кинематического винта триэдра Френе получим
b =(Ωv)/Ω
2
=χ/(k
2
+χ
2
)=Ω(ν×β)/Ω
2
=(β×Ω)ν/Ω
2
=(1/Ω)sinα
2
.
Здесь α
2
– угол , наименьшие положительные значения которого отсчитываются
от β к Ω против хода стрелки часов при наблюдении из конца вектора ν .
Таким образом , для винтового радиуса и параметра имеем
a=k/(k
2
+χ
2
)=(1/Ω)cosα
2
.
(4)
b=χ/(k
2
+χ
2
)=(1/Ω)sinα
2
.
Отсюда получим (Сделать самостоятельно!)
k=a/(a
2
+b
2
)=Ωcosα
2
,
(5)
χ=b/(a
2
+b
2
)=Ωsinα
2
.
Ω=(k
2
+χ
2
)
1/2
=1/(a
2
+b
2
)
1/2
,
(6)
α
2
=2arctg[χ/((k
2
+χ
2
)
1/2
+k)]=2arctg[b/((a
2
+b
2
)
1/2
+a].
2.2.2. Инверсная связь кривизны и кручения с радиусом и параметром
кинематического винта триэдра Френе
Заметим , что (4), (5) имеют форму преобразования инверсии (преобразо-
вания обратными радиусами). Это преобразование является инволютным, т.е.
таким , что в результате обратного преобразования любая пара инверсно соот-
ветственных точек не меняется . Как известно, в преобразовании инверсии реа-
лизуется гармоническое отношение как частный случай ангармонического,
сложного отношения , играющего важную роль в проективной геометрии, так
как оно является инвариантом проективных преобразований [16].
Если кривизну k и кручение χ , умноженные на r
2
считать координатами
ξ,η точки- прообраза D плоскости, указываемой концом вектора Дарбу ρ=r
2
Ω, а
величины a, b – координатами точки- образа C, указываемой концом вектора
с =Ω
0
/Ω=
22
ba +
Ω
0
, то диаметр AB=2r инвертирующей окружности делится
этими точками в гармоническом отношении, т.е. в одинаковом отношении λ и
внутренним и внешним образом (рис. 1)
(r− ρ)/(r+ρ)=(c− r)/(c+r)=λ; (1− ρ/r)/(1+ρ/r)=(c/r− 1)/(c/r+1)=λ. (7′)
Теперь все соотношения и свойства, имеющие место для гармонической
четверки точек, могут быть распространены и на векторы ρ=r
2
Ω и
с =Ω
0
/Ω=
22
ba +
Ω
0
. 
                                        6
     Для параметра b кинематического винта триэдра Френе получим

           b=(Ωv)/Ω2=χ/(k2+χ2)=Ω(ν×β)/Ω2=(β×Ω)ν/Ω2=(1/Ω)sinα2.

Здесь α2 – угол, наименьшие положительные значения которого отсчитываются
от β к Ω против хода стрелки часов при наблюдении из конца вектора ν.
      Таким образом, для винтового радиуса и параметра имеем

           a=k/(k2+χ2)=(1/Ω)cosα2.
                                                                        (4)
                 2   2
           b=χ/(k +χ )=(1/Ω)sinα2.

Отсюда получим (Сделать самостоятельно!)

           k=a/(a2+b2)=Ωcosα2,
                                                                        (5)
           χ=b/(a +b )=Ωsinα2.
                 2   2



           Ω=(k2+χ2)1/2=1/(a2+b2)1/2,
                                                                        (6)
           α2=2arctg[χ/((k +χ ) +k)]=2arctg[b/((a +b ) +a].
                           2   2 1/2              2   2 1/2




  2.2.2. Инверсная связь кривизны и кручения с радиусом и параметром
  кинематического винта триэдра Френе
      Заметим, что (4), (5) имеют форму преобразования инверсии (преобразо-
вания обратными радиусами). Это преобразование является инволютным, т.е.
таким, что в результате обратного преобразования любая пара инверсно соот-
ветственных точек не меняется. Как известно, в преобразовании инверсии реа-
лизуется гармоническое отношение как частный случай ангармонического,
сложного отношения, играющего важную роль в проективной геометрии, так
как оно является инвариантом проективных преобразований [16].
      Если кривизну k и кручение χ, умноженные на r2 считать координатами
ξ,η точки-прообраза D плоскости, указываемой концом вектора Дарбу ρ=r2Ω, а
величины a, b – координатами точки-образа C, указываемой концом вектора
с=Ω0/Ω= a 2 +b 2 Ω0, то диаметр AB=2r инвертирующей окружности делится
этими точками в гармоническом отношении, т.е. в одинаковом отношении λ и
внутренним и внешним образом (рис. 1)

        (r−ρ)/(r+ρ)=(c−r)/(c+r)=λ; (1−ρ/r)/(1+ρ/r)=(c/r−1)/(c/r+1)=λ.   (7′)

     Теперь все соотношения и свойства, имеющие место для гармонической
четверки точек, могут быть распространены и на векторы ρ=r2Ω и
с=Ω0/Ω= a 2 +b 2 Ω0.

Страницы