Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Рассмотрим кривую , для которой кривизна и кручение есть периодиче -
ские с фазой π /2 функции дуги
k(s)=Acosqs, χ(s)=Asin(qs), (A,q=const). (13)
Уравнения Френе для этой кривой будут дифференциальными уравне-
ниями с переменными коэффициентами k(s), χ(s). Коэффициенты Ω , α
2
в анало-
гичных уравнениях, как нетрудно убедиться , будут постоянными для этой кри-
вой . Действительно, из (5) и (13) имеем
Ω=(k
2
+χ
2
)
1/2
=|A|=const.
Дифференцируя (5) и (13) по дуге s, получим
| α '
2
|=((k')
2
+(χ')
2
)
1/2
/Ω
2
=|q|=const.
Это можно получить также из (6) с учетом (13)
α
2
=2arctg[χ/((k
2
+χ
2
)
1/2
+k)]=2arctg[Asinqs/(|A|+Acosqs]=qs (±π).
Отсюда
α '
2
=q=const.
Таким образом , две постоянных величины Ω, α'
2
и константа α
20
опреде -
ляют кривую и, следовательно, могут рассматриваться в качестве разновидно-
сти ее натуральных уравнений и как ее инварианты
Ω =const, α'
2
=const, α
20
. (14)
С этими постоянными коэффициентами уравнения (11) легко интегриру-
ются и тем определяются орты второго базиса . По формулам (8), определяя
предварительно из (14) угол α
2
, находятся орты первого базиса – базиса Френе,
а затем и координатно-векторные уравнения кривой .
Способ получения здесь второго базиса может использоваться как алго-
ритм для получения последующих базисов . Дифференциальные уравнения по-
лучаются с постоянными коэффициентами Ω=Ω
1
=const, α'
2
=const для ортов
второго базиса, как мы видели, лишь для кривой со специальным видом зави-
симости кривизны и кручения от дуги. Если перейти для этой кривой к треть-
ему базису, мы получим дифференциальные уравнения с коэффициентами
Ω
2
=const, α'
3
=0. (Сделать самостоятельно!). Постоянным будет при этом , кстати
сказать, и направление вектора Ω
2
, задающего направление третьего орта ε
33
третьего базиса ε
3
. (Также показать самим !). Для кривой общего вида, чтобы
получить уравнения с постоянными коэффициентами, следует осуществить по-
следовательный переход к нужному n-му базису. Алгоритм построения базисов 
                                        13
      Рассмотрим кривую, для которой кривизна и кручение есть периодиче-
ские с фазой π/2 функции дуги

                k(s)=Acosqs, χ(s)=Asin(qs), (A,q=const).                   (13)

      Уравнения Френе для этой кривой будут дифференциальными уравне-
ниями с переменными коэффициентами k(s), χ(s). Коэффициенты Ω, α2 в анало-
гичных уравнениях, как нетрудно убедиться, будут постоянными для этой кри-
вой. Действительно, из (5) и (13) имеем

                             Ω=(k2+χ2)1/2=|A|=const.

     Дифференцируя (5) и (13) по дуге s, получим

                        |α'2|=((k')2+(χ')2)1/2/Ω2=|q|=const.

Это можно получить также из (6) с учетом (13)

         α2=2arctg[χ/((k2+χ2)1/2+k)]=2arctg[Asinqs/(|A|+Acosqs]=qs (±π).

Отсюда

                                   α'2=q=const.

      Таким образом, две постоянных величины Ω, α'2 и константа α20 опреде-
ляют кривую и, следовательно, могут рассматриваться в качестве разновидно-
сти ее натуральных уравнений и как ее инварианты

                            Ω=const, α'2=const, α20.                       (14)

      С этими постоянными коэффициентами уравнения (11) легко интегриру-
ются и тем определяются орты второго базиса. По формулам (8), определяя
предварительно из (14) угол α2, находятся орты первого базиса – базиса Френе,
а затем и координатно-векторные уравнения кривой.
      Способ получения здесь второго базиса может использоваться как алго-
ритм для получения последующих базисов. Дифференциальные уравнения по-
лучаются с постоянными коэффициентами Ω=Ω1=const, α'2=const для ортов
второго базиса, как мы видели, лишь для кривой со специальным видом зави-
симости кривизны и кручения от дуги. Если перейти для этой кривой к треть-
ему базису, мы получим дифференциальные уравнения с коэффициентами
Ω2=const, α'3=0. (Сделать самостоятельно!). Постоянным будет при этом, кстати
сказать, и направление вектора Ω2, задающего направление третьего орта ε33
третьего базиса ε3. (Также показать самим!). Для кривой общего вида, чтобы
получить уравнения с постоянными коэффициентами, следует осуществить по-
следовательный переход к нужному n-му базису. Алгоритм построения базисов

Страницы