Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Или
χ'v
s
+k'(v
s
×ν)=λχv
s
+λk(v
s
×ν).
Откуда получаем
k'/k=χ'/χ=λ => k'/χ'− k/χ=0 => k'χ− χ'k=0 => (k/χ)'=0 => k/χ=const.
2.4. Нормальная и геодезическая кривизна, геодезическое кручение и
их геометрический и кинематический смысл
2.4.1. Уравнение поверхности . Кривая на поверхности
Существуют различные способы аналитического задания поверхности.
Будем задавать поверхность одним из этих способов – параметрически.
r=r(u,v) (3.1)
где u , v – числовые параметры .
Для задания кривой на поверхности достаточно указать зависимость па-
раметров u и v . Например в неявном виде F ( u , v )=0 или в параметрическом
u = u ( p ), v=v(p). (3.2)
Равенства (3.2) есть, так называемые, внутренние уравнения кривой на
поверхности. Обычное векторно-параметрическое уравнение этой кривой на
поверхности (3.1) в некотором основном базисе e =(e
1
, e
2
, e
3
) получим , подста-
вив (3.2) в (3.1)
r=r(u(p), v(p))=r(p). (3.3)
2.4.2. Триэдр Дарбу
Наряду с натуральным триэдром Френе кривой ε
1
=(ε
11
,ε
21
,ε
31
)= (τ,ν,β) рас-
смотрим подвижный триэдр
ε
2
=(ε
12
,ε
22
, ε
32
)=(τ, b, N), (3.4)
τ=r
p
'/|r
p
'|, (3.5) N=r
u
×r
v
/|r
u
×r
v
|, (3.6) b=N×τ=(r
u
×r
v
)×r
p
', (3.7)
где τ – орт касательной , ν – орт главной нормали, b – орт бинормали, N – орт
нормали поверхности, b – образует с τ и N правую тройку. 
                                             15

Или
                                 χ'vs+k'(vs×ν)=λχvs+λk(vs×ν).

Откуда получаем

         k'/k=χ'/χ=λ => k'/χ'−k/χ=0 => k'χ−χ'k=0 => (k/χ)'=0 => k/χ=const.

  2.4. Нормальная и геодезическая кривизна, геодезическое кручение и
  их геометрический и кинематический смысл

  2.4.1. Уравнение поверхности. Кривая на поверхности
     Существуют различные способы аналитического задания поверхности.
Будем задавать поверхность одним из этих способов – параметрически.

                                  r=r(u,v)                                   (3.1)

где u,v – числовые параметры.
      Для задания кривой на поверхности достаточно указать зависимость па-
раметров u и v. Например в неявном виде F(u,v)=0 или в параметрическом

                                  u=u(p), v=v(p).                            (3.2)

      Равенства (3.2) есть, так называемые, внутренние уравнения кривой на
поверхности. Обычное векторно-параметрическое уравнение этой кривой на
поверхности (3.1) в некотором основном базисе e=(e1, e2, e3) получим, подста-
вив (3.2) в (3.1)

                                  r=r(u(p), v(p))=r(p).                      (3.3)

  2.4.2. Триэдр Дарбу
     Наряду с натуральным триэдром Френе кривой ε1=(ε11,ε21,ε31)= (τ,ν,β) рас-
смотрим подвижный триэдр

                               ε2=(ε12,ε 22, ε32)=(τ, b, N),                 (3.4)
      τ=rp'/|rp'|, (3.5)   N=ru×rv/|ru×rv|, (3.6)    b=N×τ=(ru×rv)×rp',      (3.7)

где τ – орт касательной, ν – орт главной нормали, b – орт бинормали, N – орт
нормали поверхности, b – образует с τ и N правую тройку.

Страницы