Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Сравним (3.14) и (3.13), учитывая , что ε
11
=ε
12
=τ=r
s
'. Cравнивая первые
уравнения из (3.13) и (3.14) имеем, что орт ν главной нормали кривой (вектор
кривизны k=kν) лежит в плоскости (b,N). Обозначим через ϑ угол между ν и N .
Тогда получим
( kN)=kcosϑ=k
N
, (kb)=ksinϑ=k
g
. (3.15)
В соответствии с теоремой Менье из дифференциальной геометрии k
N
в
(3.15) есть кривизна нормального сечения поверхности в направлении τ , а так-
же кривизна проекции на плоскость этого сечения данной кривой . Величина k
g
есть кривизна проекции кривой на касательную плоскость (τ,b) поверхности.
Если в первом уравнении (3.15) положить k
g
=0, то для кривой , соответствую -
щей этим значениям k
g
, будет k=k
N
, ν=N, β=b. Такая кривая называется геоде -
зической . Для нее из второго уравнения системы (3.14) и третьего уравнения
системы (3.15) будем иметь χ
g
= χ . Т .е. величина χ
g
для кривой на поверхности в
некотором направлении τ есть кручение геодезической кривой на поверхности
в этом направлении. Поэтому величина χ
g
в (3.13) называется геодезическим
или относительным кручением.
2.4.4. Вычислительные формулы для нормальной кривизны , геодези-
ческой кривизны и геодезического кручения
Получим вычислительную формулу для нормальной кривизны
k
N
=(kN)=(r''N)=r''(r
u
×r
v
)/|r
u
×r
v
|,
r'
s
=r
u
u'
s
+r
v
v'
s
=(r
u
du+r
v
dv)/ds,
r"
ss
=r
uu
u'
s
2
+2r
uv
u'
s
v'
s
+r
vv
v'
s
2
+r
u
u''
ss
+r
v
v''
ss
,
k
N
=((r
uu
N)du
2
+2(r
uv
N)dudv+(r
vv
N)dv
2
)/ds
2
=II/I.
Получим вычислительную формулу для геодезической кривизны k
g
. По
определению имеем
k
g
=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|
2
=r''τn/|r'|
2
=r''r'n/|r'|
3
. (3.16)
Разложим вектор второй производной
r ''=αr
u
+βr
v
+γn; r'=r
u
u'+r
v
v'. (3.17)
С другой стороны для него получим
r ''=(r
u
u'+r
v
v')'=r
uu
(u')
2
+2r
uv
u'v'+r
vv
(v')
2
+r
u
u''+r
v
v''. (3.18)
Вторые частные производные также запишем в виде разложения , коэф-
фициенты Г
ij
k
в котором называют символами Кристоффеля 
                                           17

     Сравним (3.14) и (3.13), учитывая, что ε11=ε12=τ=rs'. Cравнивая первые
уравнения из (3.13) и (3.14) имеем, что орт ν главной нормали кривой (вектор
кривизны k=kν) лежит в плоскости (b,N). Обозначим через ϑ угол между ν и N.
Тогда получим

           (kN)=kcosϑ=kN, (kb)=ksinϑ=kg.                               (3.15)

      В соответствии с теоремой Менье из дифференциальной геометрии kN в
(3.15) есть кривизна нормального сечения поверхности в направлении τ, а так-
же кривизна проекции на плоскость этого сечения данной кривой. Величина kg
есть кривизна проекции кривой на касательную плоскость (τ,b) поверхности.
Если в первом уравнении (3.15) положить kg=0, то для кривой, соответствую-
щей этим значениям kg , будет k=kN, ν=N, β=b. Такая кривая называется геоде-
зической. Для нее из второго уравнения системы (3.14) и третьего уравнения
системы (3.15) будем иметь χg=χ. Т.е. величина χg для кривой на поверхности в
некотором направлении τ есть кручение геодезической кривой на поверхности
в этом направлении. Поэтому величина χg в (3.13) называется геодезическим
или относительным кручением.

  2.4.4. Вычислительные формулы для нормальной кривизны, геодези-
  ческой кривизны и геодезического кручения
     Получим вычислительную формулу для нормальной кривизны

           kN=(kN)=(r''N)=r''(ru×rv)/|ru×rv|,
           r's=ruu's+rvv's=(rudu+rvdv)/ds,
           r"ss=ruuu's2+2ruvu'sv's+rvvv's2+ruu''ss+rvv''ss,
           kN=((ruuN)du2+2(ruvN)dudv+(rvvN)dv2)/ds2=II/I.

     Получим вычислительную формулу для геодезической кривизны kg. По
определению имеем

           kg=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|2=r''τn/|r'|2=r''r'n/|r'|3.   (3.16)

     Разложим вектор второй производной

                   r''=αru+βrv+γn; r'=ruu'+rvv'.                       (3.17)

С другой стороны для него получим

           r''=(ruu'+rvv')'=ruu(u')2+2ruvu'v'+rvv(v')2+ruu''+rvv''.    (3.18)

     Вторые частные производные также запишем в виде разложения, коэф-
фициенты Гijk в котором называют символами Кристоффеля

Страницы