Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично задаче 2.25 для зарядов-изображений находим: Q
0
= Qa/R,
R
0
= a
2
/R.
ϕ =
Q
(r
2
+ R
2
+ 2rR cos θ)
1/2
−
Q
(r
2
+ R
2
− 2rR cos θ)
1/2
−
−
aQ
R
µ
r
2
+
a
4
R
2
+
2a
2
r
R
cos θ
1/2
+
aQ
R
µ
r
2
+
a
4
R
2
−
2a
2
r
R
cos θ
1/2
.
В первых двух слагаемых, учитывая, что по предположению R много
больше r, можно разложить корень по степеням r/R, вынеся предвари-
тельно за скобки R
2
. Аналогично в третьем и четвертом членах можно
произвести разложение после вынесения r
2
. В результате получим
ϕ =
·
−
2Q
R
2
r cos θ +
2Q
R
2
a
3
r
2
cos θ
¸
+ ... .
Здесь не выписаны члены, обращающиеся в нуль при R → ∞. В преде-
ле при R → ∞ отношение 2Q/R
2
переходит в величину приложенного
электрического поля E
0
, так что потенциал равен
ϕ = −E
0
µ
r −
a
3
r
2
cos θ .
Первое слагаемое (−E
0
z) равно, очевидно, просто потенциалу однород-
ного поля E
0
. Второе слагаемое описывает потенциал, создаваемый ин-
дуцированными поверхностными зарядами, или, что то же самое, по-
тенциал, создаваемый зарядами-изображениями. Заметим, что заряды-
изображения образуют диполь с моментом
p =
Qa/R
R/(2a
2
)
= a
3
E
0
.
Поверхностная плотность индуцируемого заряда равна
σ = −
1
4π
∂ϕ
∂r
¯
¯
¯
¯
r=a
=
3
4π
E
0
cos θ .
Ответ: ϕ(r) = (p·r)/r
3
−(E
0
·r ); p = a
3
E
0
; σ = 3(E
0
·r)/(4πr)
¯
¯
¯
¯
r=a
.
25
Аналогично задаче 2.25 для зарядов-изображений находим: Q0 = Qa/R,
R0 = a2 /R.
                     Q                        Q
       ϕ=                          −                        −
          (r2 + R2 + 2rR cos θ)1/2 (r2 + R2 − 2rR cos θ)1/2
               aQ                            aQ
   − µ                      ¶1/2
                                 +   µ                    ¶1/2 .
             4     2                      4      2
            a    2a r                    a     2a r
    R r2 + 2 +        cos θ        R r2 + 2 −       cos θ
           R      R                      R      R
В первых двух слагаемых, учитывая, что по предположению R много
больше r, можно разложить корень по степеням r/R, вынеся предвари-
тельно за скобки R2 . Аналогично в третьем и четвертом членах можно
произвести разложение после вынесения r2 . В результате получим
                  ·                           ¸
                        2Q          2Q a3
               ϕ = − 2 r cos θ + 2 2 cos θ + ... .
                        R           R r

Здесь не выписаны члены, обращающиеся в нуль при R → ∞. В преде-
ле при R → ∞ отношение 2Q/R2 переходит в величину приложенного
электрического поля E0 , так что потенциал равен
                                µ        ¶
                                      a3
                      ϕ = −E0 r − 2 cos θ.
                                      r

Первое слагаемое (−E0 z) равно, очевидно, просто потенциалу однород-
ного поля E0 . Второе слагаемое описывает потенциал, создаваемый ин-
дуцированными поверхностными зарядами, или, что то же самое, по-
тенциал, создаваемый зарядами-изображениями. Заметим, что заряды-
изображения образуют диполь с моментом
                                 Qa/R
                           p=        2
                                        = a 3 E0 .
                                R/(2a )
Поверхностная плотность индуцируемого заряда равна
                                ¯
                          1 ∂ϕ ¯¯    3
                   σ=−             =   E0 cos θ.
                         4π ∂r ¯r=a 4π
                                                                          ¯
                                                                          ¯
                       3
Ответ: ϕ(r) = (p·r)/r −(E0 ·r);                3
                                          p = a E0 ;   σ = 3(E0 ·r)/(4πr)¯¯         .
                                                                              r=a




                                     25

Страницы