Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, проводящую заземленную сферу можно заменить
зарядом-изображением −q
0
и рассматривать поле вне сферы как супер-
позицию полей двух точечных зарядов:
ϕ(r, θ) =
q
√
l
2
+ r
2
− 2lr cos θ
−
q
p
R
2
+ r
2
l
2
/R
2
− 2lr cos θ
.
Для определения плотности индуцированного заряда воспользуемся гра-
ничным условием E
2n
− E
1n
= 4πσ. Так как E
1n
= 0, то
σ = −
1
4π
∂ϕ
∂r
¯
¯
¯
¯
r=R
=
q(R
2
− l
2
)
4πR(R
2
+ l
2
− 2Rl cos θ)
3/2
.
Силу притяжения заряда сферой можно определить как силу притяже-
ния реального заряда зарядом-изображением:
F = −
qq
0
(l − l
0
)
2
= −
q
2
Rl
(l
2
− R
2
)
2
.
Ответ: ϕ(r, θ) =
q
√
l
2
+ r
2
− 2lr cos θ
−
q
p
R
2
+ r
2
l
2
/R
2
− 2lr cos θ
;
σ =
q(R
2
− l
2
)
4πR(R
2
+ l
2
− 2Rl cos θ)
3/2
; F = −
q
2
Rl
(l
2
− R
2
)
2
.
Задача 2.26. Рассмотреть предыдущую задачу для изолированной (неза-
земленной) сферы, если задан: а) потенциал сферы ϕ
0
; б) полный заряд
на сфере Q. Рассмотреть случай, когда точечный заряд q находится внут-
ри сферы.
Ответ: a) ϕ
a
= ϕ + ϕ
0
R
r
; σ
a
= σ +
ϕ
0
4πR
; F
a
= F +
ϕ
0
qR
l
2
;
б) ϕ
б
= ϕ+
Q + qR/l
r
; σ
б
= σ +
Q + qR/l
4πR
2
; F
б
= F +
(Q + qR/l)q
l
2
,
где ϕ, σ, F даны в ответе к задаче 2.25.
Задача 2.27. Бесконечная металлическая поверхность согнута под уг-
лом 60
◦
. На биссектрисе угла на расстоянии d от его вершины находится
точечный заряд q. Найти поле во всем пространстве.
Задача 2.28. Определить поле вокруг проводящего незаряженного ша-
ра радиуса а, помещенного в однородное электрическое поле E
0
. Найти
плотность индуцированных зарядов σ и дипольный момент шара p.
23
   Таким образом, проводящую заземленную сферу можно заменить
зарядом-изображением −q 0 и рассматривать поле вне сферы как супер-
позицию полей двух точечных зарядов:
                             q                          q
       ϕ(r, θ) = √                       −p                            .
                     l2 + r2 − 2lr cos θ    R2 + r2 l2 /R2 − 2lr cos θ

Для определения плотности индуцированного заряда воспользуемся гра-
ничным условием E2n − E1n = 4πσ. Так как E1n = 0, то
                        ¯
                  1 ∂ϕ ¯¯            q(R2 − l2 )
           σ=−             =                            .
                 4π ∂r ¯r=R 4πR(R2 + l2 − 2Rl cos θ)3/2

Силу притяжения заряда сферой можно определить как силу притяже-
ния реального заряда зарядом-изображением:

                                  qq 0           q 2 Rl
                       F =−               = −             .
                               (l − l0 )2     (l2 − R2 )2
                                  q                          q
  Ответ: ϕ(r, θ) = √                          −p                            ;
                          l2 + r2 − 2lr cos θ    R2 + r2 l2 /R2 − 2lr cos θ
                   q(R2 − l2 )                             q 2 Rl
         σ=                             ;           F =− 2         .
            4πR(R2 + l2 − 2Rl cos θ)3/2                 (l − R2 )2
Задача 2.26. Рассмотреть предыдущую задачу для изолированной (неза-
земленной) сферы, если задан: а) потенциал сферы ϕ0 ; б) полный заряд
на сфере Q. Рассмотреть случай, когда точечный заряд q находится внут-
ри сферы.
                           R                         ϕ0                    ϕ0 qR
Ответ:       a) ϕa = ϕ + ϕ0 ;            σa = σ +       ;     Fa = F +           ;
                           r                        4πR                     l2
            Q + qR/l                Q + qR/l                (Q + qR/l)q
б) ϕб = ϕ+           ;     σб = σ +          ;    F б = F +             ,
                r                     4πR2                       l2
где ϕ, σ, F даны в ответе к задаче 2.25.
Задача 2.27. Бесконечная металлическая поверхность согнута под уг-
лом 60◦ . На биссектрисе угла на расстоянии d от его вершины находится
точечный заряд q. Найти поле во всем пространстве.
Задача 2.28. Определить поле вокруг проводящего незаряженного ша-
ра радиуса а, помещенного в однородное электрическое поле E0 . Найти
плотность индуцированных зарядов σ и дипольный момент шара p.



                                       23

Страницы