Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

шара и направления внешнего поля. Единственным решением уравнения
Лапласа, удовлетворяющим этим условиям и убывающим на бесконеч-
ности, является поле диполя (см. задачу 2.28). Поэтому ищем потенциал
в виде:
(
ϕ
1
= −Cr cos θ для r ≤ a,
ϕ
2
= −E
0
r cos θ +
p
r
2
cos θ для r > a.
Граничные условия
ϕ
1
|
r=a
= ϕ
2
|
r=a
и ²
(i)
∂ϕ
1
∂r
¯
¯
r=a
− ²
(e)
∂ϕ
2
∂r
¯
¯
r=a
= 4πσ = 0
определяют C и p:
−Ca cos θ = −E
0
a cos θ +
p
a
2
cos θ,
²
(i)
(−C cos θ) + ²
(e)
E
0
cos θ +
2p²
(e)
a
3
cos θ,
откуда
p = E
0
a
3
²
r
− 1
²
r
+ 2
; C = E
0
3
²
r
+ 2
, где ²
r
=
²
(i)
²
(e)
.
ϕ(r) =
−3(E
0
· r)/(²
r
+ 2) для r ≤ a,
−(E
0
· r)
·
1 +
1 − ²
r
²
r
+ 2
·
R
3
r
3
¸
для r > a.
Плотность связанного заряда шара:
σ
связ
= P
1n
− P
2n
=
1
4π
³
(²
(i)
− 1)E
1n
|
r=a
− (²
(e)
− 1)E
2n
|
r=a
´
=
=
.
²
(e)
E
2n
|
r=a
− ²
(i)
E
1n
|
r=a
= 0
.
=
1
4π
µ
∂ϕ
1
∂r
¯
¯
¯
¯
r=a
−
∂ϕ
2
∂r
¯
¯
¯
¯
r=a
=
=
1
4π
µ
−3E
0
cos θ
1
²
r
+ 2
− 2E
0
cos θ
²
r
− 1
²
r
+ 2
+ E
0
cos θ
=
3
4π
²
r
− 1
²
r
+ 2
E
0
cos θ.
Задача 2.39. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено двумя диэлектриками. Диэлектрическая проницаемость пер-
вого слоя ²
1
, второго – ²
2
, а их толщины соответственно d
1
и d
2
, причем
d
1
+d
2
= d – толщина конденсатора. Площадь каждой обкладки S. Найти
емкость конденсатора.
Ответ: C =
²
1
²
2
S
4π(²
1
d
2
+ ²
2
d
1
)
.
31
шара и направления внешнего поля. Единственным решением уравнения
Лапласа, удовлетворяющим этим условиям и убывающим на бесконеч-
ности, является поле диполя (см. задачу 2.28). Поэтому ищем потенциал
в виде:       (
                           ϕ1 = −Cr cos θ для r ≤ a,
                                    p
                 ϕ2 = −E0 r cos θ + 2 cos θ для r > a.
                                   r
Граничные условия
                                    ∂ϕ1 ¯¯            ¯
                                              (e) ∂ϕ2 ¯
         ϕ1 |r=a = ϕ2 |r=a и ²(i)          − ²           = 4πσ = 0
                                    ∂r r=a        ∂r r=a
определяют C и p:
            
                                                         p
                         −Ca cos θ = −E0 a cos θ +          cos θ,
                                                          a2
                                                   2p²(e)
                 ²(i) (−C cos θ) + ²(e) E0 cos θ +        cos θ,
                                                     a3
откуда

                     ²r − 1                     3                     ²(i)
            p = E0 a3       ;      C = E0           ,   где ²r =           .
                     ²r + 2                  ²r + 2                   ²(e)
                    
                             −3(E
                                · 0 · r)/(²r + 32)¸ для r ≤ a,
          ϕ(r) =                       1 − ²r R
                  −(E0 · r) 1 +              ·      для r > a.
                                       ²r + 2 r3
Плотность связанного заряда шара:
                                 1 ³ (i)                    (e)
                                                                              ´
         σсвяз = P1n − P2n =          (² − 1)E1n |r=a − (² − 1)E2n |r=a =
                                4π                  µ      ¯              ¯ ¶
          .                                 .              ¯
                                                  1    ∂ϕ 1¯        ∂ϕ 2 ¯¯
        = ²(e) E2n |r=a − ²(i) E1n |r=a = 0 =                    −              =
                                                 4π ∂r ¯r=a          ∂r ¯r=a
     µ                                                  ¶
   1                1                  ²r − 1                   3 ²r − 1
=     −3E0 cos θ        − 2E0 cos θ           + E0 cos θ =                E0 cos θ.
  4π             ²r + 2                ²r + 2                 4π ²r + 2
Задача 2.39. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено двумя диэлектриками. Диэлектрическая проницаемость пер-
вого слоя ²1 , второго – ²2 , а их толщины соответственно d1 и d2 , причем
d1 +d2 = d – толщина конденсатора. Площадь каждой обкладки S. Найти
емкость конденсатора.
                                              ²1 ²2 S
                        Ответ: C =                          .
                                         4π(²1 d2 + ²2 d1 )
                                        31

Страницы