Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Поле внутри цилиндрического конденсатора обладает аксиальной сим-
метрией, т.е. ϕ = ϕ(r), и поэтому в цилиндрических координатах урав-
нение Пуассона принимает вид
1
r
d
dr
µ
r
dϕ
dr
= −
4πρ
ε
.
Отсюда находим, что
1) при r < R
1
: ∇
2
ϕ = 0, ϕ
1
= C
1
ln r + D
1
;
2) при R
1
< r < R
2
: ∇
2
ϕ = 0, ϕ
2
= C
2
ln r + D
2
;
3) при r > R
2
: ∇
2
ϕ = 0, ϕ
3
= C
3
ln r + D
3
.
Из требования конечности потенциала в нуле и на бесконечности опре-
деляем соответственно постоянные C
1
= 0 и С
3
= 0. Из условия ϕ
∞
= 0
находим D
3
= 0. Остальные постоянные могут быть определены из тре-
бования непрерывности потенциала на границах r = R
1
и r = R
2
и
поверхностного уравнения D
2n
− D
1n
= 4πσ:
D
1
= C
2
ln R
1
+ D
2
C
2
ln R
2
+ D
2
= 0,
−C
2
/R
1
= 4πσ
1
/²,
где σ
1
= q/(2πR
1
l). Решая эту систему уравнений, находим:
C
2
= −
2q
²l
, D
1
=
2q
²l
ln
R
2
R
1
, D
2
= −
2q
²l
ln R
2
.
В результате получаем:
ϕ(r) =
2q/(²l)ln(R
2
/R
1
) для 0 ≤ r ≤ R
1
,
2q/(²l)ln(R
2
/r) для R
1
< r ≤ R
2
,
0 для r > R
2
.
Емкость конденсатора – отношение заряда конденсатора к разности по-
тенциалов его обкладок:
C =
q
∆ϕ
=
²l
2ln(R
2
/R
1
)
.
Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора
равна
E =
2q
²lr
.
29
Поле внутри цилиндрического конденсатора обладает аксиальной сим-
метрией, т.е. ϕ = ϕ(r), и поэтому в цилиндрических координатах урав-
нение Пуассона принимает вид
                               µ      ¶
                          1 d      dϕ      4πρ
                                 r      =−     .
                          r dr     dr       ε
Отсюда находим, что
1) при r < R1 : ∇2 ϕ = 0,        ϕ1 = C1 ln r + D1 ;
                       2
2) при R1 < r < R2 : ∇ ϕ = 0, ϕ2 = C2 ln r + D2 ;
3) при r > R2 : ∇2 ϕ = 0,        ϕ3 = C3 ln r + D3 .
Из требования конечности потенциала в нуле и на бесконечности опре-
деляем соответственно постоянные C1 = 0 и С3 = 0. Из условия ϕ∞ = 0
находим D3 = 0. Остальные постоянные могут быть определены из тре-
бования непрерывности потенциала на границах r = R1 и r = R2 и
поверхностного уравнения D2n − D1n = 4πσ:
                          
                           D1 = C2 ln R1 + D2
                             C ln R2 + D2 = 0,
                           2
                            −C2 /R1 = 4πσ1 /²,

где σ1 = q/(2πR1 l). Решая эту систему уравнений, находим:
                   2q            2q R2                2q
          C2 = −      ,   D1 =     ln ,      D2 = −      ln R2 .
                   ²l            ²l R1                ²l
В результате получаем:
                  
                   2q/(²l)ln(R2 /R1 ) для 0 ≤ r ≤ R1 ,
           ϕ(r) =      2q/(²l)ln(R2 /r) для R1 < r ≤ R2 ,
                  
                                      0 для r > R2 .

Емкость конденсатора – отношение заряда конденсатора к разности по-
тенциалов его обкладок:
                                q     ²l
                          C=      =            .
                               ∆ϕ 2ln(R2 /R1 )
Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора
равна
                                2q
                            E=      .
                                ²lr


                                    29

Страницы