Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

grad f(r) = i
∂f
∂x
+ j
∂f
∂y
+ k
∂f
∂z
=
= e
r
∂f
∂r
+ e
φ
1
r
∂f
∂φ
+ e
z
∂f
∂z
=
= e
r
∂f
∂r
+ e
θ
1
r
∂f
∂θ
+ e
φ
1
r sin θ
∂f
∂φ
. (1)
У градиента простой геометрический смысл: он определяет абсолютную
величину и направление максимальной скорости роста скалярной функ-
ции. Скорость изменения функции в направлении произвольного векто-
ра a определяется скалярным произведением (a ·∇f) /a. В общем случае
оператор дифференцирования по направлению, задаваемому единичным
вектором n, представляет собой скалярный оператор вида (n ·∇). Такой
оператор может действовать как на скалярное, так и на векторное поле.
Вместе с производной по направлению векторное поле a имеет еще
одну скалярную и одну векторную дифференциальные характеристики,
называемые соответственно дивергенцией, diva, и ротором, rota. Дивер-
генция определяет плотность потока вектора через замкнутую поверх-
ность, охватывающую данную точку (отношение потока к величине объ-
ема, охватываемого замкнутой поверхностью):
diva = lim
∆V →0
H
(a · dS)
∆V
=
=
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
=
=
1
r
∂
∂r
(ra
r
) +
1
r
∂a
φ
∂φ
+
∂a
z
∂z
=
=
1
r
2
∂
∂r
(r
2
a
r
) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(a
θ
sin θ) +
1
r sin θ
∂a
φ
∂φ
. (2)
Аналогичным образом отношение циркуляции вектора по контуру, охва-
тывающему данную точку, к площади поверхности, опирающейся на кон-
тур, определяется проекцией вектора rot a на нормаль к поверхности
(направление обхода контура составляет правовинтовую систему с век-
тором нормали):
rot
n
a = lim
∆S→0
H
(a · dl)
∆S
. (3)
5
                            ∂f     ∂f      ∂f
              grad f (r) = i    +j     +k     =
                            ∂x     ∂y      ∂z
                              ∂f      1 ∂f      ∂f
                         = er    + eφ      + ez     =
                              ∂r      r ∂φ      ∂z
                              ∂f      1 ∂f         1 ∂f
                         = er    + eθ      + eφ            .           (1)
                              ∂r      r ∂θ      r sin θ ∂φ
У градиента простой геометрический смысл: он определяет абсолютную
величину и направление максимальной скорости роста скалярной функ-
ции. Скорость изменения функции в направлении произвольного векто-
ра a определяется скалярным произведением (a · ∇f )/a. В общем случае
оператор дифференцирования по направлению, задаваемому единичным
вектором n, представляет собой скалярный оператор вида (n · ∇). Такой
оператор может действовать как на скалярное, так и на векторное поле.
   Вместе с производной по направлению векторное поле a имеет еще
одну скалярную и одну векторную дифференциальные характеристики,
называемые соответственно дивергенцией, diva, и ротором, rota. Дивер-
генция определяет плотность потока вектора через замкнутую поверх-
ность, охватывающую данную точку (отношение потока к величине объ-
ема, охватываемого замкнутой поверхностью):
                        H
                          (a · dS)
          diva = lim                =
                  ∆V →0    ∆V
                  ∂ax ∂ay ∂az
               =       +       +       =
                   ∂x     ∂y      ∂z
                  1 ∂           1 ∂aφ ∂az
               =       (rar ) +        +       =
                  r ∂r          r ∂φ       ∂z
                   1 ∂               1 ∂                     1 ∂aφ
               = 2 (r2 ar ) +                (aθ sin θ) +            . (2)
                  r ∂r            r sin θ ∂θ              r sin θ ∂φ
Аналогичным образом отношение циркуляции вектора по контуру, охва-
тывающему данную точку, к площади поверхности, опирающейся на кон-
тур, определяется проекцией вектора rot a на нормаль к поверхности
(направление обхода контура составляет правовинтовую систему с век-
тором нормали):                     H
                                      (a · dl)
                       rotn a = lim            .                (3)
                               ∆S→0    ∆S



                                    5

Страницы