Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение уравнения (8) (которое можно получить в аналитическом виде
методом Фурье-преобразования) имеет вид:
G(r, r
0
) = −
1
4π|r − r
0
|
. (9)
С его помощью решение уравнения (7) можно записать в виде:
ϕ(r) =
Z
G(r, r
0
)f(r
0
)dr
0
= −
1
4π
Z
f(r
0
)dr
0
|r − r
0
|
, (10)
где интегрирование проводится по всему пространству. Вообще говоря, к
этому выражению можно добавить любую функцию, удовлетворяющую
уравнению Лапласа (5) (например, линейную функцию декартовых коор-
динат). Однако для электродинамики интерес представляют только по-
ля, создаваемые конкретными материальными источниками, плотность
которых и описывает функция f(r
0
) в подынтегральном выражении в
(7), и в отсутствие которых (т. е. при f(r
0
) ≡ 0) поле ϕ (r) обращается в
нуль.
Основными интегральными теоремами электродинамики являются
теорема Остроградского – Гаусса и теорема Стокса. Эти теоремы лежат
в основе инвариантного определения дивергенции и ротора векторного
поля. Теорема Гаусса – Остроградского гласит:
I
S
(a · dS) =
Z
V
div a dV. (11)
Интеграл от дивергенции векторного поля a в правой части этого равен-
ства вычисляется по объему, ограниченному замкнутой поверхностью,
поток вектора через которую вычисляется в левой части.
Теорема Стокса гласит:
I
L
(a · dl) =
Z
S
(rot a · dS). (12)
Поверхность S, через которую вычисляется поток ротора векторного по-
ля в правой части этого соотношения, опирается на контур, циркуляция
по которому вычисляется для этого же векторного поля в левой части.
Направление нормали к поверхности образует с направлением обхода
контура правовинтовую систему.
7
Решение уравнения (8) (которое можно получить в аналитическом виде
методом Фурье-преобразования) имеет вид:
                                                1
                            G(r, r0 ) = −               .              (9)
                                            4π|r − r0 |

С его помощью решение уравнения (7) можно записать в виде:
                   Z                          Z
                                            1   f (r0 )dr0
            ϕ(r) = G(r, r0 )f (r0 )dr0 = −                 ,          (10)
                                           4π   |r − r0 |
где интегрирование проводится по всему пространству. Вообще говоря, к
этому выражению можно добавить любую функцию, удовлетворяющую
уравнению Лапласа (5) (например, линейную функцию декартовых коор-
динат). Однако для электродинамики интерес представляют только по-
ля, создаваемые конкретными материальными источниками, плотность
которых и описывает функция f (r0 ) в подынтегральном выражении в
(7), и в отсутствие которых (т. е. при f (r0 ) ≡ 0) поле ϕ(r) обращается в
нуль.
    Основными интегральными теоремами электродинамики являются
теорема Остроградского – Гаусса и теорема Стокса. Эти теоремы лежат
в основе инвариантного определения дивергенции и ротора векторного
поля. Теорема Гаусса – Остроградского гласит:
                         I            Z
                           (a · dS) = div a dV.                       (11)
                         S                 V

Интеграл от дивергенции векторного поля a в правой части этого равен-
ства вычисляется по объему, ограниченному замкнутой поверхностью,
поток вектора через которую вычисляется в левой части.
   Теорема Стокса гласит:
                      I           Z
                        (a · dl) = (rot a · dS).                 (12)
                        L              S

Поверхность S, через которую вычисляется поток ротора векторного по-
ля в правой части этого соотношения, опирается на контур, циркуляция
по которому вычисляется для этого же векторного поля в левой части.
Направление нормали к поверхности образует с направлением обхода
контура правовинтовую систему.


                                       7

Страницы