Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

г) div[A × B] = (∇ · [A × B]) = (∇ · [
↓
A
×B]) + (∇ · [A×
↓
B
]) =
= (∇ · [
↓
A
×B]) − (∇ · [
↓
B
×A]) = (B · [∇×
↓
A
]) − (A · [∇×
↓
B
]) =
= (B · rotA) − (A · rotB);
ж) rot rotA = [∇×[∇×A]] = ∇·(∇·A)−(∇·∇)A = grad div A−∇
2
A.
Задача 1.3. Показать, что при действии на функции, зависящие только
от модуля радиуса-вектора r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, оператор ∇ можно заме-
нить на e
r
d/dr, где e
r
= r/r – единичный вектор в радиальном направ-
лении. Доказать следующие векторные дифференциальные тождества:
а) grad r = e
r
; б) grad f(r) = e
r
df
dr
;
в) divA(r) =
µ
e
r
·
dA
dr
; г) rotA(r) =
·
e
r
×
dA
dr
¸
;
д) grad (A(r) · B(r)) = e
r
½µ
dA
dr
· B(r)
+
µ
A(r) ·
dB
dr
¶¾
;
е) div (ϕ(r)A(r)) =
ϕ
r
µ
r ·
dA
dr
+
dϕ
dr
³
r
r
· A(r)
´
;
ж) rot (ϕ(r)A(r)) =
ϕ
r
·
r ×
dA
dr
¸
+
dϕ
dr
h
r
r
× A(r)
i
.
Решение.
б) grad f(r) = i
∂f(r)
∂x
+ j
∂f(r)
∂y
+ k
∂f(r)
∂z
=
= i
df(r)
dr
∂r
∂x
+ j
df(r)
dr
∂r
∂y
+ k
df(r)
dr
∂r
∂z
=
=
df(r)
dr
(i
x
p
x
2
+ y
2
+ z
2
+ j
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
+ k
z
p
x
2
+ y
2
+ z
2
) =
=
df(r)
dr
r
r
=
df(r)
dr
e
r
;
в) divA(r) =
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z
∂z
=
dA
x
dr
∂r
∂x
+
dA
y
dr
∂r
∂y
+
dA
z
dr
∂r
∂z
=
=
µ
r
r
·
dA
dr
=
µ
e
r
·
dA
dr
;
9
                                                  ↓                 ↓
  г) div[A × B] = (∇ · [A × B]) = (∇ · [A ×B]) + (∇ · [A× B]) =
               ↓                      ↓                      ↓          ↓
       = (∇ · [A ×B]) − (∇ · [B ×A]) = (B · [∇× A]) − (A · [∇× B]) =
       = (B · rotA) − (A · rotB);

 ж) rot rotA = [∇×[∇×A]] = ∇·(∇·A)−(∇·∇)A = grad divA−∇2 A.

Задача 1.3. Показать, что при действии
                                 p       на функции, зависящие только
от модуля радиуса-вектора r = x2 + y 2 + z 2 , оператор ∇ можно заме-
нить на er d/dr, где er = r/r – единичный вектор в радиальном направ-
лении. Доказать следующие векторные дифференциальные тождества:
                                                           df
  а) grad r = er ;                    б) grad f (r) = er      ;
                                                           dr
                    µ           ¶                     ·    ¸
                             dA                        dA
  в)   divA(r) =        er ·      ;
                                  г) rotA(r) = er ×          ;
                             dr                         dr
                               ½µ            ¶ µ               ¶¾
                                   dA                      dB
  д)   grad (A(r) · B(r)) = er         · B(r) + A(r) ·            ;
                                   dr                      dr
                           µ        ¶
                         ϕ      dA       dϕ ³ r       ´
  е)   div (ϕ(r)A(r)) =      r·       +         · A(r) ;
                         r      dr       dr r
                           ·        ¸
                         ϕ      dA       dϕ h r        i
 ж)    rot (ϕ(r)A(r)) =      r×       +         × A(r) .
                         r       dr      dr r
Решение.
                        ∂f (r)      ∂f (r)      ∂f (r)
 б)       grad f (r) = i        +j         +k          =
                          ∂x         ∂y          ∂z
           df (r) ∂r    df (r) ∂r      df (r) ∂r
       = i           +j             +k           =
             dr ∂x        dr ∂y          dr ∂z
         df (r)          x                     y                  z
       =        (i p                + jp                 + kp                )=
            dr       x2 + y 2 + z 2       x2 + y 2 + z 2      x2 + y 2 + z 2
         df (r) r df (r)
       =           =       er ;
            dr r       dr

                     ∂Ax ∂Ay ∂Az          dAx ∂r dAy ∂r dAz ∂r
  в) divA(r) =             +     +     =         +       +       =
                      ∂x     ∂y    ∂z      dr ∂x   dr ∂y   dr ∂z
                     µ       ¶ µ          ¶
                       r dA            dA
                   =     ·      = er ·      ;
                       r dr            dr

                                            9

Страницы