Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 8 стр.

Задачи к главе 1
Задача 1.1. Показать, что

                div rotA(r) = 0;        rot grad f (r) = 0.

   Решение. Используя возможность циклической перестановки векто-
ров в смешанном произведении, получим:

        div rotA(r) = (∇ · [∇ × A(r)]) = ([∇ × ∇] · A(r)) = 0,

поскольку оператор [∇ × ∇] является дифференциальным векторным
оператором, компоненты которого представляют собой разность вторых
частных смешанных производных, отличающихся лишь порядком диф-
ференцирования по координатам трехмерного пространства.
Задача 1.2. Доказать дифференциальные тождества:

  а) grad(f ϕ) = ϕ grad f + f grad ϕ;            б) div(ϕA) = ϕdivA + (A ·
     gradϕ);

  в) rot(ϕA) = ϕrotA + [gradϕ × A];             г) div[A × B] = (B · rotA) −
     (A · rotB);

  д) rot[A × B] = AdivB − BdivA + (B · ∇)A − (A · ∇)B;

  е) grad(A · B) = [A × rotB] + [B × rotA] + (A · ∇)B + (B · ∇)A;

 ж) rot rotA = grad divA − ∇2 A.

Решение. Используя оператор ∇ и принимая во внимание, что он и век-
тор, и дифференциальный оператор, вычисления проводим с учетом пра-
вил дифференцирования произведения (стрелкой можно указывать, на
какой из сомножителей действует дифференциальная операция):
                            ↓               ↓
  а) grad(f ϕ) = ∇(f ϕ) = ∇(f ϕ) + ∇(f ϕ) = ϕ grad f + f grad ϕ;
                                    ↓                    ↓
  б) div(ϕA) = (∇ · (ϕA)) = (∇ · (ϕ A)) + (∇ · (ϕ A)) = (A · gradϕ) +
     ϕdivA;
                                ↓                   ↓
  в) rot(ϕA) = [∇×ϕA] = [∇× ϕ A]+[∇×ϕ A] = [gradϕ×A]+ϕrotA;



                                    8