Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

г) rotA(r) = i
µ
∂A
z
∂y
−
∂A
y
∂z
+ j
µ
∂A
x
∂z
−
∂A
z
∂x
+ k
µ
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
=
= i
µ
dA
z
dr
∂r
∂y
−
dA
y
dr
∂r
∂z
+j
µ
dA
x
dr
∂r
∂z
−
dA
z
dr
∂r
∂x
+k
µ
dA
y
dr
∂r
∂x
−
dA
x
dr
∂r
∂y
=
= i
µ
y
r
dA
z
dr
−
z
r
dA
y
dr
+ j
µ
z
r
dA
x
dr
−
x
r
dA
z
dr
+ k
µ
x
r
dA
y
dr
−
y
r
dA
x
dr
=
=
1
r
·
r ×
dA
dr
¸
=
·
e
r
×
dA
dr
¸
.
Задача 1.4. Доказать следующие векторные дифференциальные тож-
дества, содержащие радиус-вектор r = xi + yj + zk:
а) divr = 3; б) rotr = 0; в) div(ϕ(r)r) = 3ϕ(r) + r
dϕ
dr
;
г) rot(ϕ(r)r) = 0; д) grad
1
r
= −
r
r
3
; е) div
r
r
3
= 0, при r 6= 0;
ж) rot
r
r
3
= 0; з) ∆r =
2
r
; и) ∆r = 0.
Решение.
в) div(ϕ(r)r) =
∂(ϕ(r)x)
∂x
+
∂(ϕ(r)y)
∂y
+
∂(ϕ(r)z)
∂z
=
= 3ϕ(r) +
dϕ(r)
dr
µ
x
2
r
+
y
2
r
+
z
2
r
= 3ϕ(r) + r
dϕ
dr
;
г) rot(ϕ(r)r) = i
µ
z
∂ϕ(r)
∂y
− y
∂ϕ(r)
∂z
+ j
µ
x
∂ϕ(r)
∂z
− z
∂ϕ(r)
∂x
+
+ k
µ
y
∂ϕ(r)
∂x
− x
∂ϕ(r)
∂y
=
1
r
dϕ(r)
dr
{i(zy − yz) + j(xz −zx) +
+k (yx − xy)} = 0;
з) ∆r = ∇(∇r) = div grad r = div
r
r
=
3
r
+ r
d
µ
1
r
dr
=
2
r
;
Задача 1.5. Доказать следующие равенства, содержащие постоянные
векторы p = const и q = const:
а) grad(p · r) = p; б) grad
(p · r)
r
3
=
p
r
3
−
3(p · r)
r
5
r;
в) div[p × r] = 0; г) rot[p × r] = 2p;
10
                    µ      ¶     µ             ¶     µ           ¶
                ∂Az ∂Ay            ∂Ax ∂Az             ∂Ay ∂Ax
г) rotA(r) = i      −         +j        −        +k        −        =
                 ∂y    ∂z           ∂z     ∂x           ∂x    ∂y
   µ                 ¶ µ                     ¶    µ                 ¶
     dAz ∂r dAy ∂r         dAx ∂r dAz ∂r            dAy ∂r dAx ∂r
=i          −         +j           −           +k          −           =
      dr ∂y    dr ∂z        dr ∂z      dr ∂x         dr ∂x    dr ∂y
     µ              ¶     µ                ¶     µ               ¶
       y dAz z dAy          z dAx x dAz            x dAy y dAx
 =i          −        +j          −          +k          −         =
       r dr    r dr         r dr     r dr          r dr    r dr
                                             ·        ¸ ·          ¸
                                           1      dA            dA
                                         =     r×       = er ×       .
                                           r       dr           dr

 Задача 1.4. Доказать следующие векторные дифференциальные тож-
дества, содержащие радиус-вектор r = xi + yj + zk:
                                                                          dϕ
  а) divr = 3;          б) rotr = 0;      в) div(ϕ(r)r) = 3ϕ(r) + r          ;
                                                                          dr
                                     1    r                      r
  г) rot(ϕ(r)r) = 0;          д) grad = − 3 ;           е) div      = 0, при r 6= 0;
                                     r   r                       r3
          r                    2
 ж) rot      = 0;       з) ∆r = ;       и) ∆r = 0.
          r3                   r
Решение.
                    ∂(ϕ(r)x) ∂(ϕ(r)y) ∂(ϕ(r)z)
   в) div(ϕ(r)r) =           +            +          =
                       ∂x         ∂y           ∂z
                        µ               ¶
                  dϕ(r) x2 y 2 z 2                    dϕ
       = 3ϕ(r) +             +    +       = 3ϕ(r) + r ;
                    dr     r   r     r                dr
                    µ                   ¶    µ                   ¶
                       ∂ϕ(r)     ∂ϕ(r)           ∂ϕ(r)     ∂ϕ(r)
   г) rot(ϕ(r)r) = i z       −y           +j x         −z          +
                         ∂y       ∂z              ∂z        ∂x
           µ                  ¶
              ∂ϕ(r)     ∂ϕ(r)      1 dϕ(r)
       +k y          −x         =          {i(zy − yz) + j(xz − zx) +
                ∂x        ∂y       r dr
                  +k (yx − xy)} = 0;
                                                  µ ¶
                                                   1
                                                d
                                      r 3          r      2
   з) ∆r = ∇(∇r) = div grad r = div = + r              = ;
                                      r    r      dr      r
 Задача 1.5. Доказать следующие равенства, содержащие постоянные
векторы p = const и q = const:
                                                 (p · r)   p    3(p · r)
  а) grad(p · r) = p;                  б) grad           =    −          r;
                                                   r3      r3     r5
  в) div[p × r] = 0;                   г) rot[p × r] = 2p;

                                            10

Страницы