Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

д) div[p × [r × q]] = 2(p · q); е) rot[p × [r × q]] = −[p × q];
Решение.
а) grad(p · r) = i
∂p
x
x
∂x
+ j
∂p
y
y
∂y
+ k
∂p
z
z
∂z
= ip
x
+ jp
y
+ kp
z
= p;
в) div[p × r] = ∇[p × r] = −p[∇ × r] = (−p · rot r) = 0;
г) rot[p × r] = p(∇r) − (p · ∇)r = 3p −
µ
p
x
∂
∂x
+ p
y
∂
∂y
+ p
z
∂
∂z
×
× (xi + yj + zk) = 3p − (p
x
i + p
y
j + p
z
k) = 2p;
е) rot[p ×[r ×q]] = [∇×[p ×[r ×q]]] = p(∇·[r ×q]) −(p ·∇)[r ×q] =
= p(q · [∇ × r]) − [(p · ∇)r × q] = 0 − [p × q] = −[p × q];
Задача 1.6. С помощью теоремы Гаусса – Остроградского доказать со-
отношения (p – постоянный вектор, V – объем пространства, ограничен-
ный замкнутой поверхностью S):
а)
H
S
(r · dS) = 3V ; б)
H
S
r(p · dS) = pV ;
в)
H
S
(p · r)dS = pV ; г)
H
S
f(r)dS =
R
V
grad f(r)dV.
Решение.
б) При решении этой и других подобных задач удобно рассмотреть
скалярное произведение интеграла с произвольным постоянным век-
тором c:
c ·
I
S
r(p · dS) =
I
S
(c · r)(p · dS) =
I
S
((c · r)p · dS) =
=
Z
V
div ((c · r)p)dV = (c · p)
Z
V
dV = ( c · p) · V.
Поскольку c – произвольный вектор, то отсюда следует, что
I
S
r(p · dS) = pV.
Задача 1.7. Применяя теорему Гаусса – Остроградского, вычислите по-
ток векторного поля:
11
  д) div[p × [r × q]] = 2(p · q);          е) rot[p × [r × q]] = −[p × q];

Решение.
                        ∂px x    ∂py y    ∂pz z
  а) grad(p · r) = i          +j       +k       = ipx + jpy + kpz = p;
                         ∂x       ∂y       ∂z
  в) div[p × r] = ∇[p × r] = −p[∇ × r] = (−p · rot r) = 0;
                                             µ                       ¶
                                                  ∂       ∂       ∂
  г) rot[p × r] = p(∇r) − (p · ∇)r = 3p − px         + py    + pz      ×
                                                  ∂x      ∂y      ∂z
     × (xi + yj + zk) = 3p − (px i + py j + pz k) = 2p;

  е) rot[p × [r × q]] = [∇ × [p × [r × q]]] = p(∇ · [r × q]) − (p · ∇)[r × q] =
     = p(q · [∇ × r]) − [(p · ∇)r × q] = 0 − [p × q] = −[p × q];

Задача 1.6. С помощью теоремы Гаусса – Остроградского доказать со-
отношения (p – постоянный вектор, V – объем пространства, ограничен-
ный замкнутой поверхностью S):
     H                     H
  а) (r · dS) = 3V ;     б) r(p · dS) = pV ;
       S                               S
       H                           H               R
  в)       (p · r)dS = pV ;   г)       f (r)dS =       grad f (r)dV.
       S                           S               V

Решение.

  б) При решении этой и других подобных задач удобно рассмотреть
     скалярное произведение интеграла с произвольным постоянным век-
     тором c:
         I              I                  I
      c · r(p · dS) =     (c · r)(p · dS) = ((c · r)p · dS) =
             S                S                         S
                              Z                                   Z
                          =        div ((c · r)p)dV = (c · p)          dV = (c · p) · V.
                              V                                   V

       Поскольку c – произвольный вектор, то отсюда следует, что
                             I
                                r(p · dS) = pV.
                                       S


Задача 1.7. Применяя теорему Гаусса – Остроградского, вычислите по-
ток векторного поля:

                                           11

Страницы