Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Явные выражения для этого вектора в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах имеют вид:
rot a(r) = i
µ
∂a
z
∂y
−
∂a
y
∂z
+ j
µ
∂a
x
∂z
−
∂a
z
∂x
+ k
µ
∂a
y
∂x
−
∂a
x
∂y
=
= e
r
µ
1
r
∂a
z
∂φ
−
∂a
φ
∂z
+ e
φ
µ
∂a
z
∂r
−
∂a
r
∂z
+ e
z
1
r
µ
∂
∂r
(ra
φ
) −
∂a
r
∂φ
=
= e
r
1
r sin θ
µ
∂
∂θ
(sin θa
φ
) −
∂a
θ
∂φ
+ e
θ
1
r
µ
1
sin θ
∂a
r
∂φ
−
∂
∂r
(ra
φ
)
+
+e
φ
1
r
µ
∂a
r
∂θ
−
∂
∂r
(ra
θ
)
. (4)
Операции grad ϕ, div a и rot a можно записать с помощью оператора ∇:
grad ϕ = ∇ϕ, div a = (∇ · a), rot a = [∇ × a].
Важнейшим уравнением для электродинамики постоянных полей яв-
ляется уравнение Лапласа, которому удовлетворяет электростатический
потенциал в точках пространства, где свободных электрических зарядов
нет,
∆ϕ = 0, (5)
где ∆ – линейный дифференциальный оператор второго порядка (квад-
рат оператора ∇). Явное выражение этого оператора в декартовой, ци-
линдрической и сферической системах координат имеет вид:
∆ = ∇
2
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
=
=
1
r
∂
∂r
µ
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂φ
2
+
∂
2
∂z
2
=
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
+
1
r
2
sin θ
∂
∂θ
µ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂φ
2
. (6)
Уравнение Лапласа (5) в точках, где есть пространственный заряд, пре-
вращается в уравнение с неоднородной правой частью, называемое урав-
нением Пуассона
∆ϕ(r) = f(r). (7)
Частное решение этого уравнения можно найти с помощью функции
Грина уравнения Лапласа, G(r, r
0
), удовлетворяющей уравнению (7) с
δ-образной неоднородностью
∆G(r, r
0
) = δ(r − r
0
). (8)
6
Явные выражения для этого вектора в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах имеют вид:
                µ            ¶      µ           ¶     µ            ¶
                  ∂az ∂ay             ∂ax ∂az           ∂ay ∂ax
   rot a(r) = i       −         +j       −        +k        −        =
                  ∂y      ∂z          ∂z     ∂x         ∂x      ∂y
         µ               ¶       µ            ¶       µ                ¶
            1 ∂az ∂aφ              ∂az ∂ar           1 ∂           ∂ar
   = er           −        + eφ        −        + ez      (raφ ) −       =
            r ∂φ     ∂z            ∂r     ∂z         r ∂r          ∂φ
                µ                     ¶        µ                    ¶
            1      ∂              ∂aθ        1    1 ∂ar     ∂
   = er              (sin θaφ ) −       + eθ             − (raφ ) +
         r sin θ ∂θ               ∂φ         r sin θ ∂φ    ∂r
              µ                 ¶
            1 ∂ar      ∂
       +eφ          − (raθ ) .                                            (4)
            r ∂θ      ∂r

Операции grad ϕ, div a и rot a можно записать с помощью оператора ∇:
grad ϕ = ∇ϕ, div a = (∇ · a), rot a = [∇ × a].
   Важнейшим уравнением для электродинамики постоянных полей яв-
ляется уравнение Лапласа, которому удовлетворяет электростатический
потенциал в точках пространства, где свободных электрических зарядов
нет,
                                 ∆ϕ = 0,                          (5)
где ∆ – линейный дифференциальный оператор второго порядка (квад-
рат оператора ∇). Явное выражение этого оператора в декартовой, ци-
линдрической и сферической системах координат имеет вид:

           2      ∂2      ∂2      ∂2
    ∆=∇        =      +       +       =
                 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
                      µ       ¶
                 1 ∂       ∂       1 ∂2       ∂2
               =        r       + 2 2+ 2=
                 r ∂r     ∂r       r ∂φ      ∂z
                       µ        ¶               µ          ¶
                 1 ∂       2 ∂          1    ∂          ∂        1     ∂2
               = 2       r        + 2             sin θ      + 2 2        . (6)
                 r ∂r        ∂r      r sin θ ∂θ         ∂θ    r sin θ ∂φ2

Уравнение Лапласа (5) в точках, где есть пространственный заряд, пре-
вращается в уравнение с неоднородной правой частью, называемое урав-
нением Пуассона
                            ∆ϕ(r) = f (r).                        (7)
Частное решение этого уравнения можно найти с помощью функции
Грина уравнения Лапласа, G(r, r0 ), удовлетворяющей уравнению (7) с
δ-образной неоднородностью

                            ∆G(r, r0 ) = δ(r − r0 ).                       (8)

                                       6

Страницы