Основы технической диагностики и теории надежности: Письменные лекции. Кучер В.Я. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Вероятность суммы двух событий А и В
Р(А
В) = Р(А) + Р(В) – Р(А∨
∧
В), (5)
где Р(А
В) – вероятность совместного появления событий А и В, а если
события А и В несовместные, то
∧
Р(А
В) = Р(А) + Р(В). (6) ∨
Вероятность суммы трёх событий А, В и С
Р(А
∨В С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(А∨
∧
В) – Р(В
∧
С) – Р(С А) + ∧
+ Р(А
∧
В
∧
С). (7)
Для несовместных событий А, В и С
Р(А
∨В С) = Р(А) + Р(В) + Р(С). (8) ∨
Если события А, В и С образуют полную группу событий, т.е. хотя бы
одно из них обязательно осуществится, то
Р(А
∨В С) = 1. (9) ∨
Для полной группы несовместных событий из условий (7) и (8) следует
Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1. (10)
В частности, для суммы вероятностей противоположных событий
Р(А) + Р(Ā) = 1. (11)
Величина Р(В/А) называется условной вероятностью события В (при
условии, что событие А произошло), тогда
Р(А
∧
В) = Р(А)·Р(В/А) (12)
или
Р(А
∧
В) = Р(В)·Р(А/В). (13)
В теории вероятности более приняты сокращённые обозначения
логического произведения событий в виде обычного алгебраического
произведения, тогда равенства (12) и (13) запишутся так:
Р(АВ) = Р(А)·Р(В/А) = Р(В)·Р(А/В). (14)
Понятие условной вероятности приводит к условию независимости
событий.
Событие В считается независящим от события А, если
Р(В/А) = Р(В). (15)
Несовместные события всегда зависимые, тогда как совместные события
могут быть зависимыми или независимыми. Для независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (16)
Из соотношений (13) и (15) вытекает условие Р(А/В) = Р(А
), т.е.
независимость событий – понятие взаимное. Для группы из трёх событий
Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ) = Р(В)Р(А/В)Р(С/ВА) = Р(С)Р(А/С)Р(В/АС), (17)
а для независимых событий
Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С). (18)
Пример 1.1. Вероятность безотказной работы двух трансформаторов под
нагрузкой Р = 0,9. Какова вероятность того, что не произойдёт одновремен-
ный отказ обоих трансформаторов ?
Решение:
Принимаем: безотказная работа первого трансформатора – событие А,
второго трансформатора – событие В. Тогда безотказная работа одного из
трансформаторов или обоих вместе есть сумма событий А
В. Вероятность ∨
7

Страницы