Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Определителем данной системы является определитель Вандермонда:
1 x
0
x
0
2
… x
0
n
∆= 1 x
1
x
1
2
… x
1
n
=
∏
≠
≠−
ji
ji
xx 0)(
(3.11)
………………..
1 x
n
x
n
2
… x
n
n
и, следовательно, система имеет единственное решение. Функцию (3.8) из
выражения (3.7) представим в виде
Ф
i
(x)=A(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
i-1
)(x-x
i+1
)…(x-x
n
) (3.12)
где А- неизвестный постоянный коэффициент,
Х- промежуточная точка между узлами интерполяции.
Учитывая свойство (3.8), подставим х=х
i
и (3.12) и определим
коэффициент А:
A(x
i
-x
0
)(x
i
-x
1
)…(x
i
-x
i-1
)(x
i
-x
i+1
)…(x
i
-x
n
)=1,
A=
))...()()...()((
1
1110 niiiiiii
xxxxxxxxxx −−−−−
=−
, (3.13)
Интерполяционный многочлен (3.7) с учетом (3.12) и (3.13) запишем в
виде:
(Q
n
(x))L
n
(x)=
))...()((
))...()((
)(..
....
))...()((
))...()((
)(
))...()((
))...()((
)(
110
110
12101
20
1
02010
21
0
−
−
−−−
−−−
+
+
−−−
−
−
−
+
−−−
−
−−
nnnn
n
n
n
n
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
(3.14)
L
n
(x) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
3.2.3 Решение задачи интерполирования в табличном процессоре
EXCEL
Пример. Построить многочлен Лагранжа 3-й степени, если заданы
значения в 4-х узлах интерполяции:
Таблица 4
x
i
-1 2 3 5
y
i
-1 3 2 4
25
        Определителем данной системы является определитель Вандермонда:

                                          1 x0 x02 … x0n
                                ∆=        1 x1 x12 … x1n = ∏ ( xi − x j ) ≠ 0                                              (3.11)
                                                                            i≠ j

                                         ………………..
                                         1 xn xn2 … xnn

     и, следовательно, система имеет единственное решение. Функцию (3.8) из
выражения (3.7) представим в виде

                                    Фi(x)=A(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)                                      (3.12)

     где А- неизвестный постоянный коэффициент,
     Х- промежуточная точка между узлами интерполяции.
     Учитывая свойство (3.8), подставим х=хi и (3.12) и определим
коэффициент А:

                                    A(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)=1,

                                                                         1
                                    A=                                                                        ,            (3.13)
                                          ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )( xi − xi =1 )...( xi − xn )

        Интерполяционный многочлен (3.7) с учетом (3.12) и (3.13) запишем в
виде:

                               ( x − x1 )( x − x2 )...( x − xn )               ( x − x0 )( x − x2 )...( x − xn )
                  f ( x0 )                                        + f ( x1 )                                      + ....
                             ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn )            ( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn )
  (Qn(x))Ln(x)=                                                                                                            (3.14)
                                  ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 )
                  .. + f ( xn )
                                ( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn −1 )

        Ln(x) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

   3.2.3 Решение задачи интерполирования в табличном процессоре
EXCEL

    Пример. Построить многочлен Лагранжа 3-й степени, если заданы
значения в 4-х узлах интерполяции:

    Таблица 4
      xi                          -1                            2                             3                            5
      yi                          -1                            3                             2                            4

                                                                                                                               25

Страницы