Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом для решения задачи интерполирования необходимо
выполнение следующих условий:
− Интерполяционный многочленQ
m
(x) должен совпадать со значениями
функции f(x) в узлах интерполяции;
− Порядок многочлена Q
m
(x) равен числу узлов интерполяции;
− Система функций φ
0
(х), φ
1
(х), φ
2
(х),…, φ
т
(х) должна быть линейно
независимой.
Решим систему (3.3) используя правило Крамера, тогда многочлен Q
n
(x) в виде
Q
n
(x)= )(...)()(
1
1
0
0
xxx
n
n
ϕϕϕ
∆
∆
++
∆
∆
+
∆
∆
, (3.6)
где ∆
i
(i=0,…,n)- дополнительные определители системы (3.4), ∆-
определитель системы (3.4).
Раскрывая определители, окончательно преобразуем интерполяционный
многочлен Q
n
(x):
Q
n
(x)=f(x
0
)Ф
0
(х)+f(x
1
)Ф
1
(x)+…+f(x
n
)Ф
n
(x) (3.7)
где Ф
i
(х) являются линейной комбинацией функций φ
0
(х), φ
1
(х),…, φ
n
(x).
Учитывая интерполяционное условие (3.3), функции Ф
i
(х) должны
обладать следующим свойством:
Ф
i
(x
j
)= (3.8)
≠
=
ji
ji
,0
,1
3.2.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
В качестве конечной совокупности функций φ
0
(х), φ
1
(х),…, φ
n
(x)
возьмем линейно независимую последовательность 1, x, x
2
,…, x
n
. Введем
обозначения Q
n
(x)=L
n
(x). Интерполяционный многочлен будет иметь вид:
L
n
(x)=c
0
+c
1
x+…+c
n
x
n
. (3.9)
Используя интерполяционное условие (3.3), составим систему уравнений
с
0
+с
1
x
0
+c
2
x
0
2
+…+c
n
x
0
n
=f(x
0
)
с
0
+с
1
x
1
+c
2
x
1
2
+…+c
n
x
1
n
=f(x
1
) (3.10)
……………………………..
с
0
+с
1
x
n
+c
2
x
n
2
+…+c
n
x
n
n
=f(x
n
)
24
       Таким образом для решения задачи интерполирования необходимо
  выполнение следующих условий:
       − Интерполяционный многочленQm(x) должен совпадать со значениями
         функции f(x) в узлах интерполяции;
       − Порядок многочлена Qm(x) равен числу узлов интерполяции;
       − Система функций φ0(х), φ1(х), φ2(х),…, φт(х) должна быть линейно
         независимой.
Решим систему (3.3) используя правило Крамера, тогда многочлен Qn(x) в виде

                               ∆0           ∆                 ∆
                      Qn(x)=      ϕ 0 ( x) + 1 ϕ1 ( x) + ... + n ϕ n ( x) ,   (3.6)
                               ∆             ∆                 ∆

      где ∆i (i=0,…,n)- дополнительные определители системы (3.4), ∆-
 определитель системы (3.4).
      Раскрывая определители, окончательно преобразуем интерполяционный
 многочлен Qn(x):

                    Qn(x)=f(x0)Ф0(х)+f(x1)Ф1(x)+…+f(xn)Фn(x)                  (3.7)

      где Фi(х) являются линейной комбинацией функций φ0(х), φ1(х),…, φn(x).
      Учитывая интерполяционное условие (3.3), функции Фi(х) должны
 обладать следующим свойством:

                               1, i = j
                      Фi(xj)=                                                (3.8)
                               0, i ≠ j




      3.2.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа


      В качестве конечной совокупности функций φ0(х), φ1(х),…, φn(x)
 возьмем линейно независимую последовательность 1, x, x2,…, xn. Введем
 обозначения Qn(x)=Ln(x). Интерполяционный многочлен будет иметь вид:

                       Ln(x)=c0+c1x+…+cnxn.                                   (3.9)

       Используя интерполяционное условие (3.3), составим систему уравнений

                       с0+с1x0+c2x02+…+cnx0n=f(x0)
                       с0+с1x1+c2x12+…+cnx1n=f(x1)                            (3.10)
                       ……………………………..
                       с0+с1xn+c2xn2+…+cnxnn=f(xn)
 24

Страницы