Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Корень заведомо будет единственным, если производная f'(x)
существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β), т. е. если
f'(x)>0 ( если f'(x)<0 ) при α<x<β.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функций
f(x) в граничных точках x= a и x= b интервала a<x<b области
существования функции. Затем определяют знаки функции f(x) в ряде
промежуточных точек x=x1, x2,.., выбор которых учитывает особенности
функции f(x), либо интервал [a, b] делится на равные отрезки [α
k
<α
k+1
]. Если
окажется, что f(α
k
)*f(α
k+1
)<0, то, согласно теоремы, в интервале [α
k
, α
k+1
]
имеется корень уравнения f(x).
Убедимся, что на отрезке [α
k
, α
k+1
] изолированный корень. Рассмотрим
несколько способов выявления изолированных корней.
Первый способ. Отрезок [α
k
, α
k+1
] делится на две, четыре, восемь и т. д.
равных частей, и определяются знаки функции f(x) в точках деления. При
этом:
а) если алгебраическое уравнение (1) представляет многочлен n-ой
степени
a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n
=0 (a
0
≠
0) (1.2)
и произошло n+1 перемен знаков функции на интервале a<x<b, то все
корни отделены, т. к. многочлен n-ой степени имеет не более n действительных
корней.
Пример. a
0
x
2
+a
1
x+a
2
=0 – многочлен второй степени.
Выбрав интервал [a, b] в соответствии с рисунком 1, зададим шаг
разбиения h=
n
ab −
, где n- число отрезков [α
k
, α
k+1
], где k=0,…,n-1.
y
f(a) f(b)
a α
0
b х
f(α
0
)
Рисунок 1
f(a)>0, f(α0)<0, f(b)>0 – получили три перемены знаков для многочлена
второй степени, следовательно на отрезках [a, α
0
], [α
0
, b] находятся
изолированные корни.
б) Если существует непрерывная производная f (x), и корни уравнения
f (x)=0 определены, то процесс отделения корней уравнения f(x)=0 можно
3
       Корень заведомо будет единственным, если производная               f'(x)
существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β), т. е. если
f'(x)>0 ( если f'(x)<0 ) при α0, f(α0)<0, f(b)>0 – получили три перемены знаков для многочлена
второй степени, следовательно на отрезках [a, α0], [α0, b] находятся
изолированные корни.
     б) Если существует непрерывная производная f (x), и корни уравнения
f (x)=0 определены, то процесс отделения корней уравнения f(x)=0 можно

                                                                              3

Страницы