Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 19 стр.

                                                            x 2. sOOTWETSTWIQ, FUNKCII, OTOBRAVENIQ

pRIMER 1. lEGKO UBEDITXSQ, ^TO IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 LIX %1 NE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNK-
CIEJ. oTMETIM, ^TO PUSTOE SOOTWETSTWIE ? TAKVE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ.
  2.5. oBRATNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ.
oPREDELENIE 1. pUSTX f ^ASTI^NAQ
                            ;1
                              |  FUNKCIQ IZ A W B eSLI SOOTWETSTWIE f ;1 TAKVE
                                                                  .
QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ, TO f NAZYWAETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ, OBRATNOJ DLQ f .
     pONQTNO, ^TO OBRATNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ DLQ DANNOJ SU]ESTWUET NE WSEGDA. nAPRIMER, DLQ
%2 
 %4 OBRATNYH ^ASTI^NYH FUNKCIJ NE SU]ESTWUET, A DLQ %3 
 %5 
 %6 SU]ESTWU@T. lEGKO PONQTX,
^TO DLQ PUSTOJ ^ASTI^NOJ FUNKCII OBRATNOJ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ BUDET ONA SAMA I, TAKIM OB-
RAZOM, PUSTAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ OBRATIMA.
oPREDELENIE 2. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B NAZYWAETSQ IN_EKTIWNOJ, ESLI DLQ PROIZ-
WOLXNYH x
 y 2 A IZ TOGO, ^TO f(x) = f(y) SLEDUET x = y.
     pUSTAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, O^EWIDNO, IN_EKTIWNA.
tEOREMA 1. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B IMEET OBRATNU@ ^ASTI^NU@ FUNKCI@ TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA f IN_EKTIWNA.
dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX f IMEET OBRATNU@;^ASTI^NU@                FUNKCI@. eSLI f = ?, TO f IN_EK-
TIWNA. pUSTX f OTLI^NA OT ? I SOOTWETSTWIE f 1 QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ.
     pUSTX x
 y 2 A I f(x) = f(y). dLQ OPREDELENNOSTI PUSTX f(x) = f(y) = z. |TO ZNA^IT,
^TO (x
 z)
 (y
 z) 2 f. tOGDA (z
 x)
 (z
 y) 2 f ;1 =) x
 y 2 f ;1 (z). nO f ;1 | ^ASTI^NAQ FUNKCIQ,
SLEDOWATELXNO, OBRAZ \LEMENTA z NE DOLVEN SODERVATX BOLEE ODNOGO \LEMENTA I POTOMU x = y.
     2. pUSTX TEPERX ^ASTI^NAQ FUNKCIQ f QWLQETSQ IN_EKTIWNOJ. eSLI f = ?, TO f IMEET OBRAT-
NU@ ^ASTI^NU@ FUNKCI@ | ?. pUSTX f OTLI^NA OT ?, b | PROIZWOLXNYJ \LEMENT MNOVEST-
WA B I x
 y 2 f ;1 (b). eSLI DOKAVEM, ^TO x = y, TO \TO BUDET OZNA^ATX, ^TO KAVDOMU \LEMENTU
IZ B SOOTWETSTWUET PRI f ;1 NE BOLEE ODNOGO \LEMENTA MNOVESTWA A. tAK KAK x
 y 2 f ;1 (b), TO
(b
 x)
 (b
 y) 2 f ;1 =) (x
 b)
 (y
 b) 2 f =) f(x) = b I f(y) = b, TO ESTX f(x) = f(y). nO TOGDA x = y.
tEOREMA DOKAZANA.
  2.6. fUNKCII (OTOBRAVENIQ).
oPREDELENIE 1. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B NAZYWAETSQ OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A WO
MNOVESTWO B ILI FUNKCIEJ, ZADANNOJ NA A, SO ZNA^ENIQMI W B , ESLI OBLASTX OPREDELENIQ f
SOWPADAET S MNOVESTWOM A: Xf = A.
   pRIMERAMI OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ ^ASTI^NYE FUNKCII %4 {%6 , SM. RIS. 2{4. ~ASTI^NYE FUNK-
CII %2 , %3 OTOBRAVENIQMI MNOVESTWA A W B NE QWLQ@TSQ.
   oTMETIM, ^TO WSQKAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ QWLQETSQ OTOBRAVENIEM SWOEJ OBLASTI OPREDELE-
NIQ. eSLI OTOBRAVENIE f ESTX IN_EKTIWNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, TO f NAZYWA@T IN_EKTIWNYM
OTOBRAVENIEM.
   eSLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA B IMEET HOTQ BY ODIN PROOBRAZ PRI OTOBRAVENII (FUNK-
CII) f, TO ESTX ESLI Yf = B TO f NAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM OTOBRAVENIEM (FUNKCIEJ) ILI
OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A NA MNOVESTWO B.
   eSLI VE OTOBRAVENIE f QWLQETSQ I IN_EKTIWNYM I S@R_EKTIWNYM ODNOWREMENNO, TO f NAZY-
WAETSQ BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A NA MNOVESTWO B ILI BIEKCIEJ A NA B.
   oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIQ %5 , %6 (RIS. 4) QWLQ@TSQ BIEKCIQMI, A ^ASTI^NAQ FUNKCIQ %4
(RIS. 3) NE QWLQETSQ NI IN_EKTIWNOJ, NI S@R_EKTIWNOJ.
pRIMER 1. oTOBRAVENIE f: N ! N PO PRAWILU f(n) = n + 1 QWLQETSQ IN_EKTIWNYM, NO NE
S@R_EKTIWNYM.
pRIMER 2. oTOBRAVENIE h: N ! N PO PRAWILU
                                        
                                h(n) = 1
        ESLI n = 1,
                                          n ; 1
 ESLI n > 1,
QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM, NO NE IN_EKTIWNYM.
                                                  19