Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 23 стр.

                                                        x 3. sUPERPOZICIQ SOOTWETSTWIJ. pREOBRAZOWANIQ

   dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX gf 6= ?. tOGDA NAJDETSQ a 2 A TAKOJ, ^TO (gf)(a) = g(f(a)) 6= ?.
   pUSTX d 2 g(f(a)), GDE d 2 D. sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET b 2 f(a) TAKOJ, ^TO d 2 g(b). |TO
OZNA^AET, ^TO b 2 Xg I b 2 Yf , TO ESTX b 2 Yf \ Xg =) Yf \ Xg 6= ?.
   2. pUSTX Yf \ Xg 6= ? I PUSTX c 2 Yf \ Xg . tOGDA: c 2 Yf I c 2 Xg =) c 2 f(a) DLQ NEKOTOROGO
a 2 A I d 2 g(c) DLQ NEKOTOROGO d 2 D. nO TAK KAK c 2 f(a), TO g(c)  g(f(a)) I POTOMU IZ TOGO, ^TO
d 2 g(c) SLEDUET d 2 g(f(a)) = (gf)(a). tAK ^TO: (gf)(a) 6= ? =) gf | NEPUSTOE SOOTWETSTWIE.

  3.3. aSSOCIATIWNOSTX SUPERPOZICII SOOTWETSTWIJ.
tEOREMA 1. pROIZWEDENIE SOOTWETSTWIJ ASSOCIATIWNO              .


  dOKAZATELXSTWO. pUSTX f  A  B, g  C  D, h  E  F. tOGDA:
            (h(gf))(a) = h((gf)(a)) = h(g(f(a))) = (hg)(f(a)) = ((hg)f)(a) =) h(gf) = (hg)f:
pRIWEDITE BOLEE PODROBNYE POQSNENIQ K \TOMU DOKAZATELXSTWU.
  3.4. sUPERPOZICIQ FUNKCIJ.
tEOREMA 1. pUSTX f: A ! B I g: B ! C          |   PARA FUNKCIJ. tOGDA:
  1.   gf   FUNKCIQ IZ A W C .
            |


   2. eSLI f I g IN_EKTIWNY, TO I gf IN_EKTIWNA.


   3. eSLI f I g S@R_EKTIWNY, TO I gf S@R_EKTIWNA.


   4. eSLI f I g | BIEKCII, TO I gf | BIEKCIQ.


    dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX a | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ A. tAK KAK f | FUNKCIQ NA A, TO
f(a) | ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO I POTOMU MOVNO S^ITATX, ^TO f(a) 2 B. g | FUNKCIQ NA B I
POTOMU g(f(a)) | ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO. nO g(f(a)) = (gf)(a) I, TAKIM OBRAZOM, (gf)(a) |
ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO. w SILU PROIZWOLXNOSTI a MOVNO SDELATX ZAKL@^ENIE O TOM, ^TO
POLNYJ OBRAZ WSQKOGO \LEMENTA IZ A PRI SOOTWETSTWII (gf) ESTX W TO^NOSTI ODNO\LEMENTNOE
MNOVESTWO. tAKIM OBRAZOM gf | FUNKCIQ IZ A W C.
    2. pUSTX (gf)(x) = (gf)(y) 2 C. tOGDA: g(f(x)) = g(f(y)) 6= ? =) f(x) = f(y) 6= ? =) x = y
=) gf | IN_EKTIWNA. pOQSNITE \TO DOKAZATELXSTWO.
    3. pUSTX c 2 C. tOGDA SU]ESTWUET b 2 B TAKOJ, ^TO g(b) = c. w SWO@ O^EREDX DLQ b SU]ESTWUET
a 2 A TAKOJ, ^TO f(a) = b. tAKIM OBRAZOM: c = g(b) = g(f(a)) = (gf)(a) =) gf | S@R_EKTIWNAQ
FUNKCIQ.
    4. sLEDUET IZ DWUH PREDYDU]IH PUNKTOW.

   3.5. sWOJSTWA TOVDESTWENNOJ I OBRATNOJ FUNKCII. pUSTX M | NEKOTOROE MNOVES-
TWO. oBOZNA^IM:
                                         eM = f(a
 a) j a 2 M g:
o^EWIDNO, eM  M  M.
tEOREMA 1 (sWOJSTWA TOVDESTWENNOJ FUNKCII).
  1.   eM    BIEKTIWNAQ FUNKCIQ IZ M NA M .
             |


  2.   (8a 2 M)(eM (a) = a).
  3.   eSLI f  M  K , TO feM = f .
  4.   eSLI g  P  M , TO eM g = g.

                                                   23