Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 22 стр.

   x   3.       sUPERPOZICIQ SOOTWETSTWIJ. pREOBRAZOWANIQ
       pOLNYE OBRAZY I POLNYE PROOBRAZY MNOVESTW PRI DANNOM SOOTWETSTWII sUPERPOZICIQ PRO
                                                                               .     (   -

       IZWEDENIE SOOTWETSTWIJ aSSOCIATIWNOSTX SUPERPOZICII SOOTWETSTWIJ sUPERPOZICIQ FUNK
                  )         .                                              .             -

       CIJ sWOJSTWA TOVDESTWENNOJ I OBRATNOJ FUNKCIJ pREOBRAZOWANIQ pREOBRAZOWANIQ KONE^
            .                                              .           .                 -

       NYH MNOVESTW pODSTANOWKI
                      .         .




   3.1. pOLNYE OBRAZY I PROOBRAZY MNOVESTW. pUSTX f  A  B, A1  A I B1  B.
oBOZNA^IM:
                                                     S
                                       f(A1 ) =            f(a)

                                                    a2A1
                                                     S
                                     f ;1 (B1 ) =          f ;1 (b):
                                                    b2B1
   f(A1 ) NAZYWAETSQ POLNYM OBRAZOM MNOVESTWA A1 PRI SOOTWETSTWII f, A f ;1 (B1 ) | POLNYM
PROOBRAZOM MNOVESTWA B1 PRI SOOTWETSTWII f.
pRIMER 1. pUSTX f  R  R OPREDELQETSQ FORMULOJ f(x) = x2. tOGDA
                  f(0
 1]) = 0
 1], f ;1 (0
 1]) = ;1
 1]
 f ;1 (;1
 0]) = f0g,
                f(;1
 0]) = 0
 1], f ;1 (;1
 1]) = ;1
 1], f ;1 (;2
 ;1]) = ?.
   uBEDITESX W \TOM.
tEOREMA 1. dWA SOOTWETSTWIQ f I g IZ A W B RAWNY TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ PRO-
IZWOLXNOGO \LEMENTA a 2 A f(a) = g(a).
   dOKAZATELXSTWO. eSLI f = g, TO SOWERENNO O^EWIDNO, ^TO DLQ L@BOGO a 2 A f(a) = g(a).
   pUSTX TEPERX DLQ L@BOGO a 2 A f(a) = g(a) I (x
 y) 2 f. iMEEM:
                  y 2 f(x) I f(x) = g(x) =) y 2 g(x) =) (x
 y) 2 g =) f  g:
   aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO I g  f. dOKAVITE \TO.
  3.2. sUPERPOZICIQ SOOTWETSTWIJ.
oPREDELENIE 1. pUSTX f  A  B I g  C  D       | PARA SOOTWETSTWIJ. oPREDELIM IH SUPER-
POZICI@ ILI PROIZWEDENIE gf USLOWIQMI 1{2.
  1. gf  A  D .


  2. DLQ L@BOGO a 2 A gf(a) = g(f(a)).


   pUSTX ?A
B | PUSTOE SOOTWETSTWIE IZ A W B I f  C  D. tOGDA:
                                       ?A
B  f = ?C
B 

                                       f  ?A
B = ?A
D :
pRIMER 1. pUSTX f(x) = ex, g(x) = cos x, f
 g 2 R  R, GDE R | MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH
^ISEL. tOGDA:
                            (fg)(x) = f(g(x)) = f(cos x) = ecos x ,
                            (gf)(x) = g(f(x)) = g(ex ) = cos ex .
   pRIWEDENNYJ PRIMER POKAZYWAET, ^TO DLQ FUNKCIJ IZ R W R (OT ODNOJ PEREMENNOJ) SUPERPO-
ZICIQ FUNKCIJ | \TO SLOVNAQ FUNKCIQ (FUNKCIQ OT FUNKCII).
tEOREMA 1. pROIZWEDENIE gf DWUH NEPUSTYH SOOTWETSTWIJ f  A  B I g  C  D QWLQETSQ
NEPUSTYM SOOTWETSTWIEM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA Yf \ Xg 6= ?.

                                                22