Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 24 стр.

gLAWA wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
       I.




   dOKAZATELXSTWO. 1, 2 DOKAVITE SAMOSTOQTELXNO.
   3. pUSTX x | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ M. tOGDA:
                                  (feM )(x) = f(eM (x)) = f(x) =) feM = f:
   4. pUSTX y | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ P. tOGDA:
                                 (eM g)(y) = eM (g(y)) = g(y) =) eM g = g:
tEOREMA 2 (sWOJSTWA OBRATNOJ FUNKCII). eSLI f: A ! B                  |   OBRATIMAQ FUNKCIQ, TO:
  1.   ff ;1 = eB ,
  2.   f ;1 f = eA .
   dOKAZATELXSTWO. pO OPREDELENI@ f ;1 IMEEM:
                                           f(x) = y () f ;1 (y) = x:
   1. pUSTX y | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ B.
                         (ff ;1 )(y) = f(f ;1 (y)) = f(x) = y = eB (y) =) ff ;1 = eB :
   2. pUSTX x | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ A.
                       (f ;1 f)(x) = f ;1 (f(x)) = f ;1 (y) = x = eA (x) =) f ;1 f = eA :
  3.6. pREOBRAZOWANIQ.
oPREDELENIE 1. wSQKOE OTOBRAVENIE f MNOVESTWA A W SEBQ NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIEM
MNOVESTWA A.
   pREOBRAZOWANIE f NAZYWAETSQ IN_EKTIWNYM (S@R_EKTIWNYM, BIEKTIWNYM, OBRATIMYM), ESLI
f QWLQETSQ IN_EKTIWNYM (S@R_EKTIWNYM, BIEKTIWNYM, OBRATIMYM) KAK OTOBRAVENIE.
tEOREMA 1.
  1.   pROIZWEDENIE DWUH PREOBRAZOWANIJ MNOVESTWA A QWLQETSQ PREOBRAZOWANIEM MNOVEST-
       WA A.
  2.   pROIZWEDENIE DWUH IN_EKTIWNYH (S@R_EKTIWNYH, BIEKTIWNYH) PREOBRAZOWANIJ MNOVES-
       TWA A ESTX IN_EKTIWNOE (S@R_EKTIWNOE, BIEKTIWNOE) PREOBRAZOWANIE MNOVESTWA A.
  3.   eSLI f | OBRATIMOE PREOBRAZOWANIE A, TO ff ;1 = f ;1 f = eA .
  4.   eSLI f I g | OBRATIMYE PREOBRAZOWANIQ MNOVESTWA A, TO gf OBRATIMOE PREOBRAZOWANIE
       MNOVESTWA A, PRI^EM, (gf);1 = f ;1 g;1 .
    dOKAZATELXSTWO. uTWERVDENIQ 1, 2 QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM TEOREMY 3.4.1 PRI A = B =
= C. uTWERVDENIE 3 QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM TEOREMY 3.5.2 O SWOJSTWAH OBRATNOJ FUNKCII
PRI A = B.
    4. pUSTX z | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ A. tAK KAK g | OBRATIMOE PREOBRAZOWANIE, TO g |
OBRATIMAQ FUNKCIQ. pO TEOREME 2.7.1, g | BIEKCIQ. sLEDOWATELXNO, g(y) = z DLQ NEKOTOROGO
y 2 A. f | TOVE OBRATIMAQ FUNKCIQ =) f | BIEKCIQ =) f(x) = y DLQ NEKOTOROGO x 2 A. tOGDA
f ;1 (y) = x I g;1 (z) = y I (gf)(x) = g(f(x)) = g(y) = z =) (gf);1 (z) = x. s DRUGOJ STORONY
                                (f ;1 g;1)(z) = f ;1 (g;1 (z)) = f ;1 (y) = x =)
                                (f ;1 g;1)(z) = (gf);1 (z) =) f ;1 g;1 = (gf);1 :

                                                        24