Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 37 стр.

   x   6.   kARDINALXNYE ^ISLA
       rAWNOMO]NYE MNOVESTWA kARDINALXNYE ^ISLA sRAWNENIE KARDINALXNYH ^ISEL tEOREMA
                            .                    .                           .

       kANTORA bERNTEJNA oPERACII NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI I IH SWOJSTWA
              -         .                                                .




   6.1. u^ENIE O MO]NOSTI. rANEE MY OPREDELILI PONQTIE MO]NOSTI DLQ KONE^NYH MNO-
VESTW. tEPERX RASIRIM \TO PONQTIE NA SLU^AJ PROIZWOLXNYH MNOVESTW.
oPREDELENIE 1. dWA MNOVESTWA A I B NAZYWA@TSQ RAWNOMO]NYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEK-
CIQ IZ A NA B ,
   rASSMOTRIM KLASS WSEH MNOVESTW K. bUDEM S^ITATX, ^TO MNOVESTWA A I B NAHODQTSQ W OTNO-
ENII %, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ IZ A NA B. lEGKO PONQTX, ^TO % BUDET OTNOENIEM \KWIWALENT-
NOSTI NA K. wSE MNOVESTWA, NAHODQ]IESQ W ODNOM KLASSE PO % BUDUT RAWNOMO]NYMI. pOSTAWIM
W SOOTWETSTWIE KAVDOMU KLASSU % NEKOTORYJ OB_EKT, NAZYWAEMYJ KARDINALXNYM ^ISLOM ILI
KARDINALOM. nAPRIMER, KLASSU %, SODERVA]EMU WSE n-\LEMENTNYE MNOVESTWA (n FIKSIROWANO),
POSTAWIM W SOOTWETSTWIE ^ISLO n. kLASSU %, SOSTOQ]EMU IZ ODNOGO PUSTOGO MNOVESTWA, STAWITSQ
W SOOTWETSTWIE KARDINALXNOE ^ISLO 0. kLASSU %, SODERVA]EMU MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL
STAWITSQ W SOOTWETSTWIE KARDINALXNOE ^ISLO @0 (@ (\ALEF") | PERWAQ BUKWA IWRITA). l@BOE
MNOVESTWO IZ \TOGO KLASSA NAZYWAETSQ S^ETNYM . kLASSU %, SODERVA]EMU MNOVESTWO WSEH DEJ-
STWITELXNYH ^ISEL, STAWITSQ W SOOTWETSTWIE KARDINALXNOE ^ISLO @1 , KOTOROE NAZYWAETSQ TAKVE
MO]NOSTX@ KONTINUUMA .
   tAKIM OBRAZOM, KARDINALXNYE ^ISLA QWLQ@TSQ SIMWOLAMI, WYRAVA@]IMI MO]NOSTX MNO-
VESTW. bUDEM W DALXNEJEM OBOZNA^ATX PROIZWOLXNYE KARDINALXNYE ^ISLA MALENXKIMI GOTI^ES-
KIMI BUKWAMI, A TOT FAKT, ^TO MNOVESTWO A PRINADLEVIT KLASSU \KWIWALENTNOSTI %, KOTOROMU
POSTAWLENO W SOOTWETSTWIE KARDINALXNOE ^ISLO a, BUDEM OBOZNA^ATX TAK: jAj = a. dALEE, W \TOM
SLU^AE, BUDEM GOWORITX, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA A RAWNA a.
   6.2. sRAWNENIE KARDINALXNYH ^ISEL. w \TOM PUNKTE USTANAWLIWAETSQ SPOSOB SRAWNE-
NIQ MO]NOSTEJ PROIZWOLXNYH MNOVESTW.
oPREDELENIE 1. pUSTX a = jAj, b = jBj. oPREDELIM NA MNOVESTWE WSEH KARDINALXNYH ^ISEL
BINARNOE OTNOENIE  SLEDU@]IM OBRAZOM: a  b TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
BIEKCIQ IZ A NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA B .
   o^EWIDNO, ^TO \TO OPREDELENIE NE ZAWISIT OT WYBORA MNOVESTW A I B I PO\TOMU WYRAVAET
OTNOENIE MEVDU KARDINALXNYMI ^ISLAMI.
tEOREMA 1. pUSTX A | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO KARDINALXNYH ^ISEL, TOGDA hA
 i QWLQETSQ
LINEJNO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM.
   dLQ DOKAZATELXSTWA \TOJ TEOREMY NAM NEOBHODIMO POKAZATX, ^TO BINARNOE OTNOENIE  QW-
LQETSQ OTNOENIEM PORQDKA. rEFLEKSIWNOSTX I TRANZITIWNOSTX \TOGO OTNOENIQ SLEDU@T IZ
WYE DANNOGO OPREDELENIQ I SWOJSTW SUPERPOZICII FUNKCIJ (OTOBRAVENIJ), SM. x 3. aNTISIM-
METRI^NOSTX OTNOENIQ  SLEDUET IZ TEOREMY kANTORA-bERNTEJNA, DOKAZATELXSTWO KOTOROJ
PRIWODITSQ W SLEDU@]EM PUNKTE.
   dLQ L@BYH DWUH MNOVESTW A I B SU]ESTWUET, O^EWIDNO, ODNA I TOLXKO ODNA IZ SLEDU@]IH
WOZMOVNOSTEJ:
  1) SU]ESTWUET BIEKCIQ IZ A NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA B, NO NE SU]ESTWUET
     BIEKCII IZ B NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A
  2) SU]ESTWUET BIEKCIQ IZ B NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A, NO NE SU]ESTWUET
     BIEKCII IZ A NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA B
  3) SU]ESTWUET BIEKCIQ IZ A NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA B I SU]ESTWUET BIEKCII
     IZ B NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A.
                                            37