Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 38 стр.

gLAWA wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
      I.




   eSLI jAj = a, jB j = b, TO W PERWOM SLU^AE IMEEM a < b, WO WTOROM | b < a. tEOREMA kANTORA-
bERNTEJNA UTWERVDAET, ^TO W TRETXEM SLU^AE BUDET a = b. tAKIM OBRAZOM, POLU^AEM SPOSOB
SRAWNENIQ MO]NOSTEJ PROIZWOLXNYH MNOVESTW.
   nAPRIMER, ESLI TAKIM OBRAZOM SRAWNIWATX MO]NOSTI KONE^NYH MNOVESTW, TO TAKOE SRAWNENIE
FAKTI^ESKI BUDET PREDSTAWLQTX SOBOJ SRAWNENIE PO ^ISLU \LEMENTOW. |TO SOGLASUETSQ S RANEE
DANNYM OPREDELENIEM MO]NOSTI KONE^NOGO MNOVESTWA.
  6.3. tEOREMA kANTORA-bERNTEJNA.
lEMMA 1. pUSTX   A  B SOOTWETSTWIE IZ A W B I                               NEKOTOROE MNOVESTWO INDEKSOW
I Ai  A, i 2 I . tOGDA
                              |                                      ,     |

                                                  !
                                                          
                                                 Ai =           (Ai ):
                                           i2I             i2I

dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX x 2      i2I
                                       Ai , TOGDA SU]ESTWUET a 2 Ai TAKOJ, ^TO x 2 (a).
                                       S
                                                                  i2I
                                                                                    S

sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET TAKOJ INDEKS k 2 I, ^TO a 2 Ak , TO ESTX x 2 (Ak ). nO \TO ZNA^IT,
^TO x 2 S (Ai ). tAKIM OBRAZOM,  S Ai  S (Ai ).
        i2I                         i2I       i2I
   2. pUSTX x 2 (Ai ), TOGDA SU]ESTWUET TAKOJ INDEKS k 2 I, ^TO x 2 (Ak ). |TO OZNA^AET,
                 S
                i2I
^TO SU]ESTWUET a 2 Ak TAKOJ, ^TO x 2 (a). tAK KAK a 2 Ak , TO a 2 Ai . sLEDOWATELXNO,
                                                                       S
                                                                                          i2I
x 2 (a)      Ai I, ZNA^IT, (Ai )  
               S                  S                    S
                                                Ai .
               i2I             i2I          i2I
   iZ PUNKTOW 1 I 2 SLEDUET UTWERVDENIE LEMMY.
lEMMA 2. eSLI : A ! (A)| BIEKCIQ MNOVESTWA A NA SWOE SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO
(A) A, TO DLQ WSQKOGO MNOVESTWA C  A n (A) SU]ESTWUET BIEKCIQ : A !  (A),
                                     ;       


PRI^EM  (A) = C (A).
dOKAZATELXSTWO. oBOZNA^IM 0(C) = C, 1(C) = (C), n+1(C) = (n(C)) I RASSMOTRIM
MNOVESTWO                                                                  1
                                                                           
                          S = C (C) 2(C) 3 (C) : : : =                        n(C):                 (1)
                                                                           n=0
    1. pOKAVEM, ^TO S = C (S).
    pUSTX x 2 S, TOGDA, TAK KAK C  S, TO x 2 C ILI x 2= C. w PERWOM SLU^AE x 2 C (S).
eSLI VE x 2= C, TO TOGDA SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO n 2 N, ^TO x 2 n(C) (SM. (1)). tAK KAK IZ
LEMMY 6.3.1 SLEDUET, ^TO
                                (S) = (C) 2(C) 3 (C) : : :
                                  (2)
TO n(C)  (S). nO TOGDA x 2 (S). tAKIM OBRAZOM, x 2 C (S), TO ESTX DOKAZANO, ^TO
S  C (S).
    pUSTX x 2 C (S), TOGDA x 2 C ILI x 2= C. w PERWOM SLU^AE, TAK KAK C  S, TO x 2 S. eSLI
x 2= C, TO x 2 (S). nO, TAK KAK (S)  S (SM. (1) I (2)), TO, I W \TOM SLU^AE, x 2 S. sLEDOWATELXNO
C (S)  S.
    iTAK, IZ ANTISIMMETRI^NOSTI OTNOENIQ WKL@^ENIQ (SM. I.1.5.) SLEDUET, ^TO S = C (S).
    2. pOSTROIM SOOTWETSTWIE  IZ A W A, PO SLEDU@]EMU PRAWILU:
                                                        x 2 S

                                              (
                                   (x) =        x

                                                  (x)
 x 2 (A n S)

TO ESTX  QWLQETSQ OTOBRAVENIEM, KOTOROE NA MNOVESTWE S TOVDESTWENNO I SOWPADAET S  NA
MNOVESTWE A n S.
   tAK KAK S = C (S), TO S \ (A n S) = C (S) \ (A n S) = C \ (A n S) (S) \ (A n S) .
nO C \ (A n S) = ?, TAK KAK C  A n (A), A (S) \ (A n S) = ?, TAK KAK : A ! A IN_EKCIQ.
                                                     38