Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 40 стр.

gLAWA wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
        I.




dOKAZATELXSTWO. dLQ PROIZWOLXNOGO PODMNOVESTWA B  A RASSMOTRIM HARAKTERISTI^ESKU@
FUNKCI@ \TOGO PODMNOVESTWA:
                                            0
 ESLI a 2 B,
                                                  
                                        B (a) =
                                            1
 ESLI a 2= B.
    rASSMOTRIM SOOTWETSTWIE  IZ B(A) W X = f B j B  Ag, KOTOROE KAVDOMU B 2 B(A)
STAWIT W SOOTWETSTWIE EGO HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ B . lEGKO PONQTX, ^TO : B(A) ! X
QWLQETSQ BIEKCIEJ. nO KAVDAQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ FAKTI^ESKI QWLQETSQ OTOBRAVENIEM
 B : A ! f0
 1g. tAKIM OBRAZOM, IZ TEOREMY 6.3.1 kANTORA-bERNTEJNA I OPREDELENIQ OPERACIJ
NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI, SLEDUET jB(A)j = jXj = jf0
 1gAj = 2jAj.
tEOREMA 3. mNOVESTWO B(A) WSEH PODMNOVESTW L@BOGO MNOVESTWA A IMEET MO]NOSTX,
STROGO BOLXU@ MO]NOSTI MNOVESTWA A, TO ESTX
                                          jAj < 2jAj:
dOKAZATELXSTWO. eSLI POSTAWITX W SOOTWETSTWIE KAVDOMU \LEMENTU a 2 A ODNO\LEMENTNOE
PODMNOVESTWO fag MNOVESTWA A, TO POLU^IM BIEKCI@ MNOVESTWA A NA SOBSTWENNOE PODMNOVEST-
WO B(A). pO\TOMU jAj  jB(A)j.
    pOKAVEM, ^TO jAj 6= jB(A)j. pREDPOLOVIM, ^TO \TO NE TAK, TOGDA SU]ESTWUET BIEKCIQ ' IZ A
NA B(A). pUSTX
                                    M = fa 2 A j a 2= '(a)g:
tAK KAK M  A, TO M 2 B(A). sLEDOWATELXNO, DOLVEN SU]ESTWOWATX \LEMENT m 2 A TAKOJ,
^TO '(m) = M. pOLU^AEM PROTIWORE^IE: ESLI m 2 M, TO m 2= '(m) = M, A ESLI m 2= M, TO
m 2 '(m) = M.
tEOREMA 4. pUSTX I | NEKOTOROE MNOVESTWO INDEKSOW I ai = a, DLQ L@BOGO i 2 I . tOGDA
                                                      ai = jI ja:
                                               X

                                               i2I
dOKAZATELXSTWO. pUSTX A | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO TAKOE, ^TO jAj = a. tOGDA, PO OPREDELE-
NI@ UMNOVENIQ KARDINALXNYH           ^ISEL 6.4.1, jI ja = jI  Aj. oBOZNA^IM (i
 A) = f(i
 a) j a 2 Ag, GDE
i 2 I. o^EWIDNO, ^TO (i
 A) = I  A. tAK KAK (i
 A) \ (j
 A) = ?, PRI i 6= j I DLQ L@BOGO i 2 I
                        S

j(i
 A)j = a, TO P ai =i2j IS (i
 A)j = jI  Aj = jI ja.
                i2I      i2I
sLEDSTWIE 1. dLQ L@BOGO KARDINALXNOGO ^ISLA a
                                            a| + a{z+ : :}: = @0 a:
                                                  @0
  pRIWEDEM SLEDU@]U@ WAVNU@ TEOREMU BEZ DOKAZATELXSTWA.
tEOREMA 5. dLQ L@BOGO BESKONE^NOGO KARDINALXNOGO ^ISLA a  @0
                                                  @0a = a:                                             (3)
sLEDSTWIE 2. eSLI HOTQ BY ODNO IZ KARDINALXNYH ^ISEL a b BESKONE^NO TO,            ,


                                            a + b = max(a
 b)
dOKAZATELXSTWO. pUSTX, NAPRIMER, a  b. tOGDA, PO USLOWI@, a  @0. w \TOM SLU^AE, ISPOLXZUQ
RAWENSTWO (3), POLU^IM
                                   a  a + b  a + a = 2a  @0 a = a:
sLEDOWATELXNO, a + b = a.
      6.6. nOWYE TERMINY. kARDINALXNYE ^ISLA. s^ETNOE MNOVESTWO. mO]NOSTX KONTINUU-
MA.
                                                       40