Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 39 стр.

                                                                         x 6. kARDINALXNYE ^ISLA

tAKIM OBRAZOM, S \ (A n S) = ?, A \TO ZNA^IT, ^TO  : A ! A QWLQETSQ IN_EKCIEJ, PRI^EM
 (A) = S (A n S) = C (S) (A n S) = C (A).
    sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ KRAEUGOLXNYM KAMNEM TEORII MNOVESTW. oNA POKAZYWAET, ^TO
OTNOENIE  NA MNOVESTWE WSEH KARDINALXNYH ^ISEL OBLADAET SWOJSTWOM ANTISIMMETRI^NOSTI
I, SLEDOWATELXNO, QWLQETSQ OTNOENIEM LINEJNOGO PORQDKA (SM. TEOREMU 6.2.1). kROME TOGO ONA
DAET METOD DOKAZATELXSTWA RAWNOMO]NOSTI MNOVESTW.
tEOREMA 1 (kANTORA-bERNTEJNA). eSLI SU]ESTWU@T BIEKCII MNOVESTWA A NA SOBSTWENNOE
PODMNOVESTWO MNOVESTWA B I MNOVESTWA B NA SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A,
TO SU]ESTWUET BIEKCIQ A NA B .
dOKAZATELXSTWO. pUSTX : A ! (A) I : B ! (B) | BIEKCII, PRI^EM (A) B, (B) A.
rASSMOTRIM SUPERPOZICI@ = , : A ! A, (A) = ((A)). tAK KAK  I  QWLQ@TSQ IN_EKCI-
QMI, TO I IH SUPERPOZICIQ TAKVE BUDET IN_EKCIEJ PO TEOREME 3.4.1, TO ESTX QWLQETSQ BIEKCIEJ
MNOVESTWA A; NA SWOE SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO (A). tOGDA, PO LEMME 6.3.2, DLQ L@BOGO PODMNO-
VESTWA C  A n; (A) SU]ESTWUET     BIEKCIQ  : A ! C (A). wYBEREM C = (B) n (A). w \TOM
                     


SLU^AE (A) = (B) n (A) (A) = (B). tOGDA  ;1  (A) =  ;1 (B) = B. sLEDOWATELXNO,
                           


TAK KAK  ;1 | IN_EKTIWNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, TO  ;1  : A ! B QWLQETSQ ISKOMOJ BIEKCIEJ A
NA B.
   zAMETIM, ^TO INOGDA TEOREMOJ kANTORA-bERNTEJNA (W DRUGOJ FORMULIROWKE) NAZYWA@T LEM-
MU 6.3.2 W SILU EE WAVNOSTI I SLOVNOSTI, A PRIWEDENNU@ ZDESX KLASSI^ESKU@ FORMULIROWKU
TEOREMY NAZYWA@T SLEDSTWIEM \TOJ LEMMY.
  6.4. oPERACII NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI.
oPREDELENIE 1. pUSTX a I b PROIZWOLXNYE KARDINALXNYE ^ISLA PRI^EM a = jAj b = jBj I
A \ B = ?.
                              |                                      ,                ,


   oPREDELIM OPERACII NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI SLEDU@]IM OBRAZOM:
                                       a + b = j A B j

                                       a  b = jA  B j

                                       ab = jAB j

GDE AB | MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ IZ B W A.
   kAK OBY^NO, ZNAK  BUDEM W ZAPISI WYRAVENIJ OPUSKATX.
   wIDNO, ^TO REZULXTATY OPERACIJ NE ZAWISQT OT PRIRODY \LEMENTOW MNOVESTW A I B.
  6.5. sWOJSTWA OPERACIJ NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI. oSNOWNYE SWOJSTWA WWEDEN-
NYH OPERACIJ NAD KARDINALXNYMI ^ISLAMI WYRAVAET
tEOREMA 1. pUSTX jAj = a, jBj = b, jC j = c I A, B, C | POPARNO NEPERESEKA@]IESQ MNOVES-
TWA. tOGDA
                     1) a + (b + c) = (a + b) + c    5) a(b + c) = ab + ac
                     2) a(bc) = (ab)c                6) ab+c = ab ac
                     3) a + b = b + a                7) (ab)c = ac bc
                     4) ab = ba                      8) (ab )c = abc
   dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PROWODITSQ NA OSNOWE OPREDELENIQ OPERACIJ NAD KARDINALXNY-
MI ^ISLAMI. pROWEDITE EGO SAMOSTOQTELXNO.
tEOREMA 2. pUSTX A    |   PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, B(A)      |   MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW
MNOVESTWA A. tOGDA
                                         jB(A)j = 2jAj:
                                               39