ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§1 Симметрические многочлены
Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим много-
членом, если он не меняется при всех перестановках своих переменных.
Многочлены
σ
1
= x
1
+ . . . + x
n
,
σ
2
= x
1
x
2
+ . . . + x
n−1
x
n
,
. . .
σ
n
= x
1
x
2
. . . x
n
называются элементарными симметрические многочленами. Основная теоре-
ма о симметрических многочленах утверждает, что всякий симметрический
многочлен над произвольным полем K выражается через элементарные сим-
метрические многочлены, причем это можно сделать единственным образом.
Приведём точную формулировку основной теоремы о симметрических мно-
гочленах.
Теорема 1.1.
1) Для любого симметрического многочлена f(x
1
, . . . , x
n
) существует много-
член g(y
1
, . . . , y
n
) такой, что f(x
1
, . . . , x
n
) = g(σ
1
, . . . , σ
n
),
2) многочлен g(y
1
, . . . , y
n
) находится по исходному симметрическому много-
члену f(x
1
, . . . , x
n
) однозначно.
Рассмотрим несколько стандартных задач на эту теорему.
Задача 1.2. Выразить симметрический многочлен f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
4
1
x
2
+
x
4
2
x
1
+ x
4
1
x
3
+ x
4
3
x
1
+ x
4
2
x
3
+ x
4
3
x
2
через элементарные симметрические много-
члены.
Решение. Многочлен f(x
1
, x
2
, x
3
) является однородным симметрическим мно-
гочленом суммарной степени 5. Наша цель – выразить f(x
1
, x
2
, x
3
) через эле-
ментарные симметрические многочлены от 3-х переменных:
σ
1
= x
1
+ x
2
+ x
3
,
σ
2
= x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
.
σ
3
= x
1
x
2
x
3
Его старший (в смысле лексикографического упорядочения) член совпада-
ет с x
4
1
x
2
. Лексикографическая степень многочлена f(x
1
, x
2
, x
3
) равна (4, 1, 0).
Выпишем всевозможные наборы (k
1
, k
2
, k
3
) с натуральными k
1
, k
2
, k
3
, удовле-
творяющие условиям:
1) k
1
+ k
2
+ k
3
= 5,
2) k
1
≥ k
2
≥ k
3
,
3) набор (k
1
, k
2
, k
3
) меньше или равен (4, 1, 0) в смысле лексикографического
порядка.
3
