Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Для каждого набора (k
1
, k
2
, k
3
) укажем симметрический многочлен вида
σ
α
1
1
σ
α
2
2
σ
α
3
3
, степень которого равна (k
1
, k
2
, k
3
). Показатели α
1
, α
2
, α
3
можно
угадать или воспользоваться формулами α
1
= k
1
−k
2
, α
2
= k
2
−k
3
, α
3
= k
3
.
Получаем
(4, 1, 0), σ
3
1
σ
2
(3, 2, 0), σ
1
σ
2
2
,
(3, 1, 1), σ
2
1
σ
3
,
(2, 2, 1), σ
2
σ
3
.
(1.1)
Существуют числа a, b, c такие, что
f(x
1
, x
2
, x
3
) = σ
3
1
σ
2
+ aσ
1
σ
2
2
+ bσ
2
1
σ
3
+ cσ
2
σ
3
(1.2)
Подставляя в левую и правую части (1.1) наборы значений аргументов,
получаем систему уравнений на a, b, c. Заполним таблицу:
x
1
x
2
x
3
σ
1
σ
2
σ
3
f
1 1 0 2 1 0 2 = 8 + 2a
1 1 1 3 3 1 6 = 81 + 27a + 9b + 3c
1 -1 1 1 -1 -1 2 = −1 + a − b + c
Решая систему уравнений, получаем a = −2, b = −1, c = 5.
Ответ: f(x
1
, x
2
, x
3
) = σ
3
1
σ
2
− 3aσ
1
σ
2
2
− σ
2
1
σ
3
+ 5σ
2
σ
3
.
Напомним формулы Виета. Пусть дан многочлен f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+
. . . + a
n−1
x + a
n
, где a
0
6= 0. Тогда корни α
1
, . . . , α
n
многочлена f(x) удовле-
творяют формулам Виета:
σ
1
(α
1
, . . . , α
n
) = −
a
1
a
0
σ
2
(α
1
, . . . , α
n
) =
a
2
a
0
. . .
σ
n
(α
1
, . . . , α
n
) = (−1)
n
a
n
a
0
В частности, формулы Виета для многочлена третьей степени f(x) = a
0
x
3
+
a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
, a
0
6= 0, имеют вид
σ
1
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
+ α
2
+ α
3
= −
a
1
a
0
,
σ
2
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
α
2
+ α
1
α
3
+ α
2
α
3
=
a
2
a
0
,
σ
3
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
α
2
α
3
= −
a
3
a
0
.
Задача 1.3. Найти значение симметрического многочлена
(3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
)(3x
2
+ 2x
1
+ 2x
3
)(3x
3
+ 2x
1
+ 2x
2
)
4

Страницы