ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
от корней многочлена 2x
3
+ 3x
2
+ x + 5.
Решение. Используя метод задачи 1.1, выразим данный симметрический
многочлен f(x
1
, x
2
, x
3
) через элементарные симметрические многочлены. Фор-
мулы, аналогичные (1.1) и (1.2), для нашей задачи имеют вид:
(3, 0, 0), σ
3
1
,
(2, 1, 0), σ
1
σ
2
,
(1, 1, 1), σ
3
,
f(x
1
, x
2
, x
3
) = 12σ
3
1
+ aσ
1
σ
2
+ bσ
3
Заполним таблицу
x
1
x
2
x
3
σ
1
σ
2
σ
3
f
1 1 0 2 1 0 100 = 96 + 2a
1 1 1 3 3 1 343 = 324 + 9a + b
Решая систему уравнений, получаем a = 2, b = 1. Получаем
f(x
1
, x
2
, x
3
) = 12σ
3
1
+ 2σ
1
σ
2
+ σ
3
. (1.3)
Выпишем формулы Виета для корней α
1
, α
2
, α
3
многочлена 2x
3
−3x
2
+x−5:
σ
1
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
+ α
2
+ α
3
=
3
2
,
σ
2
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
α
2
+ α
1
α
3
+ α
2
α
3
=
1
2
,
σ
3
(α
1
, α
2
, α
3
) = α
1
α
2
α
3
=
5
2
.
Подставляя α
1
, α
2
, α
3
в (1.3), получаем f(α
1
, α
2
, α
3
) =
89
2
Ответ:
89
2
.
Степенными суммами называют симметрические многочлены s
k
= x
k
1
+
x
k
2
+ . . . + x
k
n
. Имеют место следующие формулы Ньютона, связывающие эле-
ментарные симметрические многочлены и степенные суммы:
s
k
− σ
1
s
k−1
+ σ
2
s
k−2
− . . . + (−1)
k
kσ
k
= 0, для k ≤ n
s
k
− σ
1
s
k−1
+ σ
2
s
k−2
− . . . + (−1)
n
σ
n
s
k−n
= 0, для k > n
Задача 1.3. Найти значения суммы s
7
от корней уравнения x
3
+ 3x −2 = 0.
Решение. Из формул Виета σ
1
= 0, σ
2
= 3, σ
3
= 2. Используя формулы
Ньютона, последовательно находим s
1
= 0, s
2
= −6, s
3
= 6, s
4
= 18, s
5
=
−30, s
6
= −42, s
7
= 126.
Ответ: s
7
= 126.
§2 Результант и дискриминант
Пусть f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+. . .+a
n
, a
0
6= 0, и g(x) = b
0
x
m
+b
1
x
m−1
+. . .+b
m
,
b
0
6= 0, – два многочлена над полем K. Пусть α
1
, . . . , α
n
и β
1
, . . . , β
m
полные
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
