ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
наборы корней многочленов f(x) и g(x) соответственно.
Определение 2.1. Результантом многочленов f(x) и g(x) называют число
R(f, g) = a
m
0
b
n
0
n,m
Y
i,j=1
(α
i
− β
j
). (2.1)
Основное свойство результанта состоит в следующем: результант R(f, g) = 0
тогда и только тогда, когда у многочленов f(x) и g(x) есть общий корень.
Результант вычисляется по формуле:
R(f, g) =
a
0
a
1
. . . . . . a
n
0 . . . 0
0 a
0
. . . . . . a
n−1
a
n
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
0
. . . . . . . . . a
n
b
0
b
1
. . . . . . b
m
0 . . . 0
0 b
0
. . . . . . b
m−1
b
m
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . b
0
. . . . . . . . . b
m
(2.2)
Задача 2.2. При каком a многочлены f(x) = x
3
− 4x
2
+ (a − 5)x − 5a и
g(x) = x
2
− (7 + a)x + 7a имеют общий корень?
Решение. Вычислим результант R(f, g) = 2a
4
+106a
3
−356a
2
−1120a. Найдем
корни R(f, g) как многочлена от a.
Ответ: при a = 0, −2, 5, 56.
Задача 2.3. Найти решения системы уравнений:
5y
2
− 6xy + 5x
2
− 16 = 0
y
2
− xy + 2x
2
− y −x − 4 = 0
(2.3)
Решение. Будем рассматривать левые части уравнений как многочлены от
y и найдём их результант:
R(f, g) = 32x
4
− 96x
3
+ 32x
2
+ 96x − 64 = 32(x + 1)(x − 2)(x − 1)
2
.
Каждый из корней x
1
= −1, x
2
= 2, x
3,4
= 1 подставляем в (2.3), получаем
систему 2-х уравнений относительно y и находим её решение:
x
1
= −1,
5y
2
+ 6y − 11 = 0
y
2
− 1 = 0
, y
1
= 1
x
2
= 2,
5y
2
− 12y + 4 = 0
y
2
− 3y + 4 = 0
, y
2
= 2
x
3,4
= 1,
5y
2
− 6y − 11 = 0
y
2
− 2y − 3 = 0
, y
3,4
= −1.
6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
