ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
β = α
2
+ α − 1. Требуется найти уравнение с рациональными коэффици-
ентами, корнем которого будет число β.
Решение. Многочлены
f(x) = x
3
+ 3x − 5,
g(x) = x
2
+ x − 1 − β
имеют общий корень x = α. Поэтому R(f, g) = 0. Вычисляя результант,
получаем R(f, g) = −β
3
− 9β
2
− 12β + 41 = 0.
Ответ: −y
3
− 9y
2
− 12y + 41 = 0.
Уравнение −y
3
−9y
2
−12y+41 = 0 называют преобразованием Чирнгаузена
уравнения x
3
+ 3x − 5 = 0.
Пусть α – алгебраическое число и f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n
, a
0
6= 0, –
многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами, корнем
которого является α. Заметим, что многочлен f(x) неприводим над полем
рациональных чисел Q.
Наименьшее подполе Q(α), содержащее Q и α, состоит из чисел вида
{c
0
α
n−1
+ c
1
α
n−2
+ . . . + c
n−1
: c
0
, c
1
, . . . , c
n−1
∈ Q}.
В частности, для любого ненулевого набора коэффициентов c
0
, . . . , c
n−1
число
γ =
1
c
0
α
n−1
+ c
1
α
n−2
+ . . . + c
n−1
может быть переписано в виде b
0
α
n−1
+ b
1
α
n−2
+ . . . + b
n−1
с рациональными
коэффициентами b
i
, 0 ≤ i ≤ n −1. Другими словами, каждая дробь γ допус-
кает исключение иррациональности в знаменателе.
Задача 3.2. Исключить иррациональность в знаменателе числа
1
3
√
4+
3
√
2−3
.
Решение. Число α =
3
√
2 является корнем неприводимого над Q многочле-
на f(x) = x
3
− 2. Обозначим g(x) = x
2
+ x − 3. Наша цель – исключить
иррациональность в знаменателе числа γ =
1
g(α)
. Многочлены f(x) и g(x)
взаимно простые, поскольку f(x) неприводим и degf(x) > degg(x). Суще-
ствуют многочлены M(x) и N(x) с рациональными коэффициентами, такие,
что M(x)f(x) + N(x)g(x) = const 6= 0. Для нахождения M(x) и N(x) при-
меним алгоритм Евклида:
f(x) = g(x)(x + 1) + r(x), где r(x) = −2x − 5,
g(x) = r(x)(−
1
2
x +
7
4
) +
47
4
Подставляя выражение r(x) из первой строки во вторую, получаем
M(x)f(x) + N(x)g(x) =
47
4
, (3.1)
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
