Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

где M(x) =
1
2
x −
7
4
и N(x) = −
1
2
x
2
+
5
4
x +
11
4
. Подставим α в (3.1):
M(α)f(α) + N(α )g(α) =
47
4
.
Поскольку f(α) = 0, то g(α)N(α) =
47
4
и
γ =
1
g(α)
=
4
47
N(α) = −
2
47
α
2
+
5
47
α +
11
47
.
Ответ. γ = −
2
47
3
√
4 +
5
47
3
√
2 +
11
47
.
Пусть A – коммутативное кольцо с 1. Подмножество I ⊂ A называют
идеалом в A, если выполнены два условия:
1) для любых элементов a, b ∈ I их сумма a + b принадлежит I,
2) для любых a ∈ A и b ∈ I их произведение ab принадлежит I.
Говорят, что элементы a и b из кольца A сравнимы по модулю идеала I
(записывается a ≡ b mod I), если их разность a − b принадлежит идеалу
I. Отношение a ≡ b mod I является отношением эквивалентности в кольце
A. Имеет место следующие свойство: если a ≡ a
0
mod I и b ≡ b
0
mod I, то
a + b ≡ a
0
+ b
0
mod I и ab ≡ a
0
b
0
mod I.
Для любого a ∈ A класс эквивалентности [a] = {b ∈ A : a ≡ b mod I} сов-
падает с множеством a+I = {a+i : i ∈ I}. Кольцо A распадается на классы
эквивалентности. Рассмотрим множество классов эквивалентности A/I (фак-
тормножество) кольца A относительно a ≡ b mod I. Фактормножество A/I
является кольцом относительно операций [a] + [b] = [a + b] и [a] · [b] = [ab].
Поэтому A/I называют факторкольцом кольца A по идеалу I.
Конструкция факторкольца позволяет строить новые примеры колец по
данному кольцу A. Рассмотрим два важных примера этой конструкции.
Пример 3.3. Пусть A = Z – кольцо целых чисел и n – некоторое целое
число. Рассмотрим идеал I = nZ. Факторкольцо A/I = Z
n
называют кольцо
классов вычетов по модулю n.
Кольцо Z
n
состоит из n элементов. Известно, что кольцо Z
n
является по-
лем тогда и только тогда, когда n – простое число. Поле Z
p
, где p – простое
число, обозначают также через F
p
.
Пример 3.4. Пусть A = K[x] – кольцо многочленов над полем K и f(x)
– некоторый многочлен из K[x]. Рассмотрим идеал I = K[x]f(x) и фактор-
кольцо F = K[x]/I.
Теорема 3.5. Кольцо F является полем тогда и только тогда, когда много-
член f(x) неприводим над полем K.
9

Страницы