Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§4 Теория λ-матриц
λ- матрица – это n ×n–матрица, элементами которой являются комплексные
многочлены от λ.
Определение 4.1.
1) Элементарным преобразованием λ-матрицы 1 рода называют прибавление
к строке(столбцу) матрицы элементов другой строки(столбца), домноженных
на некоторый многочлен f(λ);
2) Элементарным преобразованием λ-матрицы 2 рода называют умножение
строки(столбца) матрицы на число c 6= 0.
Заметим, что элементарными преобразованиями можно переставить ме-
стами две строки(столбца) матрицы.
Определение 4.2. Говорят, что две λ-матрицы одного размера эквивалент-
ны, если из одной можно получить другую цепочкой элементарных преобра-
зований.
Определение 4.3. Канонической формой λ-матрицы называют λ-матрицу
C(λ) =
e
1
(λ) 0 . . . 0
0 e
2
(λ) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . e
n
(λ)
,
в которой 1) старший коэффициент в многочленах {e
i
(λ)} равен 1; 2) каждый
e
i
(λ) делит e
i+1
(λ) нацело.
Многочлены e
i
(λ) называются инвариантными множителями.
Каждый инвариантный множитель разложим в произведение линейных
многочленов
e
i
(λ) = (λ − a
i1
)
k
i1
. . . (λ − a
i,m(i)
)
k
i,m(i)
,
где все корни a
i,1
, . . . , a
i,m(i)
различны. Множители (λ−a
ij
)
k
ij
называются эле-
ментарными делителями. Система элементарных делителей –это набор всех
элементарных делителей, в котором каждый элементарный делитель встре-
чается столько раз сколько он встречается в разложении e
i
(λ), 1 ≤ i ≤ n.
Например, система элементарных делителей матрицы
(λ) =
λ − 1 0 0
0 (λ − 1)(λ + 2) 0
0 0 (λ − 1)(λ + 2)
3
равна λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 2, (λ + 2)
3
.
11

Страницы