Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Каждая каноническая форма однозначно восстанавливается по размеру
n, рангу r и системе элементарных делителей. Следующая теорема является
основной в тории λ-матриц.
Теорема 4.5.
1) Всякая λ-матрица A(λ) эквивалентна некоторой канонической форме C(λ);
2) каноническая форма C(λ) находится по A(λ) однозначно.
Обозначим через d
i
(λ) наибольший общий делитель системы миноров i-го
порядка в A(λ).
Имеют место формулы
e
1
(λ) = d
1
λ
e
2
(λ) =
d
2
(λ)
d
1
λ
. . .
e
n
(λ) =
d
n
(λ)
d
n−1
λ
,
(4.1)
восстанавливающие каноническую форму C(λ) по начальной λ-матрице A(λ).
Задача 4.6. Найти каноническую форму для
A(λ) =
1 + 2λ 4λ
2
− 13λ + 5
λ 2λ
2
− 7λ + 4
.
Решение. Воспользуется формулами (4.1): d
1
(λ) = 1, d
2
(λ) = det A(λ) =
(λ − 2)
2
.
Ответ. C(λ) =
1 0
1 (λ − 2)
2
.
Задача 4.7. Найти каноническую форму для
A(λ) =
λ + 1 −λ
2
+ 6λ − 6 2λ
2
+ 9λ − 18
λ −λ
2
+ 6λ − 8 λ
2
+ 9λ − 18
λ λ + 2 λ
3
− λ
2
+ 4
.
Решение. Легко видеть, что d
1
(λ) = 1. Создадим число 1 в левом верхнем
углу матрицы A(λ). Для этого умножим вторую строку на -1 и прибавим к
первой строке. Получаем
A(λ) ∼
1 2 λ
2
λ −λ
2
+ 6λ − 8 λ
2
+ 9λ − 18
λ λ + 2 λ
3
− λ
2
+ 4
.
Сохраняя 1 в левом верхнем углу, создадим два нуля в первой строке. Для
этого умножим первый столбец на -2 и прибавим ко второму столбцу и затем
12

Страницы