Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.1.
1) Всякая комплексная матрица A подобна над полем комплексных чисел
некоторой жордановой нормальной матрице J;
2) жорданова нормальная матрица J определяется по исходной матрице A
однозначно, с точностью до порядка жордановых клеток по главной диаго-
нали.
Матрицу J из теоремы называют жордановой нормальной формой матри-
цы A(коротко ЖНФ матрицы A) Напомним определение матрицы линейного
оператора в базисе. Пусть V – линейное пространство, f
1
, . . . , f
n
– базис V и
ϕ : V → V – линейный оператор. Действуем оператором на первый базисный
вектор и разлагаем этом вектор по базису; затем – на второй вектор и снова
разлагаем по базису и так далее. Получаем следующую систему равенств:
ϕ(f
1
) = b
11
f
1
+ b
21
f
2
+ . . . + b
n1
f
n
ϕ(f
2
) = b
12
f
1
+ b
22
f
2
+ . . . + b
n2
f
n
. . .
ϕ(f
1
) = b
1n
f
1
+ b
2n
f
2
+ . . . + b
nn
f
n
(5.1)
Следующая матрица B называется матрицей оператора ϕ в базисе f
1
, . . . , f
n
:
B =
b
11
b
12
. . . b
1n
b
21
b
22
. . . b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
n1
b
n2
. . . b
nn
(5.2)
Заметим, что столбцы в матрице B – это векторы ϕ(f
1
), . . . , ϕ(f
n
), выписан-
ные в координатах базиса f
1
, . . . , f
n
. Теорема 5.1 допускает следующее важное
следствие.
Следствие 5.2. Для всякого линейного оператора ϕ в комплексном линей-
ном пространстве V существует базис (называется жордановым базисом) в
котором матрица оператора ϕ является жордановой нормальной матрицей.
Если A матрица оператора ϕ в начальном базисе e
1
, . . . , e
n
и T матрица
перехода в жорданов базис f
1
, . . . , f
n
, то J = T
−1
AT . Столбцы матрицы T со-
стоят из векторов жорданова базиса, выписанных в координатах начального
базиса.
Дана матрица A. Для нахождения ЖНФ составим характеристическую
матрицу A − λE. Рассматривая матрицу A − λE как λ-матрицу, найдём ка-
ноническую форму C(λ) и выпишем систему её элементарных делителей. По
каждому элементарному делителю (λ −α)
k
построим жорданову клетку J
α,k
14

Страницы