ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Ответ: (-1,1), (2,2), (1,-1).
Пусть f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n
, a
0
6= 0, – многочлен над полем K и
α
1
, α
2
, . . . , α
n
– его корни.
Определение 2.4. Дискриминантом многочлена f(x) называют число
D(f) = a
2n−2
0
Y
i<j
(α
i
− α
j
)
2
. (2.4)
Напомним, что число c называется корнем кратности k для многочлена
f(x), если f(x) делится на (x − c)
k
и не делится на (x − c)
k+1
. Основное
свойство дискриминанта состоит в следующем: дискриминант D(f) равен
нулю тогда и только тогда, когда многочлен f(x) имеет кратный корень (то
есть корень кратности > 1).
Имеют место следующие две формулы для вычисления дискриминанта:
D(f) = a
2n−2
0
n s
1
s
2
. . . s
n−1
s
1
s
2
s
3
. . . s
n
s
2
s
3
s
4
. . . s
n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n−1
s
n
s
n+1
. . . s
2(n−1)
(2.5)
D(f) = (−1)
n(n−1)
2
a
−1
0
R(f, f
0
) (2.6)
Задача 2.5. При каком a многочлен x
3
+ x
2
−5x + a имеет кратный корень?
Решение. Вычислим D(f) = −27a
2
− 94a + 525. Найдём корни D(f) как
многочлена от a.
Ответ: при a = −
175
27
и a = 3.
§3 Алгебраические числа и конечные поля
Комплексное число α называется алгебраическим, если α является корнем
некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Комплексные чис-
ла, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.
Примерами алгебраических чисел являются
√
2,
3
√
5,
√
2 +
√
3, примерами
трансцендентных чисел – π, e.
Алгебраические числа образуют подполе в поле комплексных чисел. В
частности, для любых алгебраических чисел α и β их сумма α + β, разность
α − β, произведение αβ и частное
α
β
– также алгебраические числа.
Задача 3.1. Пусть α – корень уравнения x
3
+ 3x − 5 = 0. Дано число
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
