Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

12
Решение исходного уравнения сводится к последовательному реше-
нию двух уравнений с разделяющимися переменными.
1) Функцию
(
)
xvv
=
найдем из первого уравнения
0
2
=−
′
x
v
v
:
0
2
=−
x
v
dx
dv
,
x
dx
v
dv
2
=
,
∫∫
−
= dxx
v
dv
2
1
2
1
,
2
1
ln xv =
,
x
ev =
(выбрана одна из первообразных
(
)
xvv
=
).
2) Подставим
x
ev =
во второе уравнение
x
evu 2=
′
.
Решив его, найдем общее решение
(
)
С,xuu
=
:
xx
ee
dx
du
2=
, dxdu 2= ,
∫∫
= dxdu 2 , Cxu
+
=
2 .
Поскольку
vuy
⋅
=
, то общее решение линейного уравнения
запишется в виде
()
x
eCxy += 2
.
1.2.7. Найти решение задачи Коши
()
.y,y
x
y
y 11
2
−=−=
′
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с
2=n :
2
1
yy
x
y −=⋅−
′
. Полагаем
v
uy
=
, тогда
,vu
x
v
vuvu
22
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
+
′
Решаем последовательно два уравнения.
1)
Из уравнения
0=−
′
x
v
v
,
находим функцию
(
)
xv
:
0=−
x
v
dx
dv
,
x
dx
v
dv
=
,
∫∫
=
x
dx
v
dv
, xv lnln = ,
x
v
=
.
2) Подставляем
x
v
=
во второе
уравнение
22
vuvu −=
′
:
22
uxx
dx
du
−=⋅
,
dxxduu −=
−2
,
C
x
u
+−=−
2
1
2
,
Cx
u
2
2
2
−
=
.
Так как
v
uy
=
, то общее решение уравнения Бернулли:
Cx
x
y
2
2
2
−
=
.
Используем начальные условия
11
−
=
=
y,x
, для нахождения соот-
ветствующего значения константы
C :
C
21
2
1
−
=−
,
2
3
=C
.
Итак, решение задачи Коши имеет вид:
3
2
2
−
=
x
x
y
.

Страницы