ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
dx
x
x
y
dy
ln
4
2
=
+
.
Таким образом, мы разделили переменные. Интегрируем теперь
обе части уравнения:
∫∫
=
+
dx
x
x
y
dy
ln
4
2
,
()
∫∫
=
+
xdx
y
dy
lnln
2
22
,
C
x
y
2
1
2
ln
2
arctg
2
1
2
+=
.
Итак, получено общее решение уравнения в неявном виде:
Cx
y
+=
2
ln
2
arctg
.
1.2.4. Решить задачу Коши:
()
(
)
()
.y,dyxdxxxy
2
1
0012
2
==+−+
Решение. Перепишем уравнение в виде
(
)
(
)
dyxdxyx 112
2
+=+
и раз-
делим переменные. Поделив обе части уравнения на произведение
()
(
)
112
2
+⋅+ xy
, получим:
12
1
2
+
=
+
y
dy
dx
x
x
.
Интегрируем:
∫∫
+
=
+
12
1
2
y
dy
dx
x
x
;
(
)
()
∫∫
+
+
=
+
+
12
12
2
1
1
1
2
1
2
2
y
yd
x
xd
,
откуда
(
)
(
)
Cyx ln12ln1ln
2
++=+
.
Упростим теперь решение, используя свойства логарифмов:
(
)
(
)
12ln1ln
2
+=+ yCx
.
Итак, общее решение уравнения принимает вид
()
121
2
+⋅=+ yCx
.
Теперь найдем значение постоянной
С , при котором будет выпол-
нено указанное начальное условие.
Подставляя
2
1
0 == y,x
в общее решение, получим:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=+
1
2
1
210 С
,
2
1
=С
.
Таким образом, имеем решение задачи Коши:
2
1
1
2
+=+ yx
или, в явном виде,
2
1
2
+= xy
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
